基于Arnoldi算法的MEMS微梁的宏建模

　　微机电系统(Micro2electro2mechanical system,MEMS)的高集成性要求有相应的CAD工具对之进行系统级模拟[1],以预测和优化系统性能。在系统级仿真中,直接使用有限元法、有限差分法等方法,虽然精度高,但计算量大,不能达到快速仿真。对于一些简单器件,常利用等效电路法[2]或集总参数法[3]在电路仿真环境中实现MEMS的系统级模拟,但对于复杂MEMS器件,往往无法得到等效模型,从而限制了这些方法的应用。因此,应在保证计算精度的前提下建立MEMS器件的宏模型,以对原模型进行适当简化,从而提高系统级的仿真效率。Gabbay等人提出了模态叠加法和能量法相结合的CHRUN过程[4],建立了静电MEMS器件的宏模型,这种方法能使模型简化,但它无法处理包含空气阻尼等能量损耗问题。本文针对MEMS的多域耦合和能量损耗问题,研究了基于Krylov子空间技术的Arnoldi算法,并将Arnoldi算法与Taylor展开相结合建立了双端固定静电致动微梁的宏模型,在此基础上实现微梁的整体行为快速仿真分析。

　　1　基于Arnoldi算法的线性系统宏建模方法

　　线性系统的状态空间形式为

　　式中,A为n×n的矩阵,B、C为n维向量,B和C则由输入和输出决定,u为系统输入,X为状态向量,y为系统输出。通过拉普拉斯变换得到该系统的传递函数为

　　传递函数在s0=0处的Taylor展开为

　　式中,Taylor展开的第k阶系数称为传递函数的第k阶矩。

　　宏建模的过程就是确定方程中Aq,Bq,Cq,建立一个近似原系统输入2输出行为特性的q(qnn)维降阶模型。

　　降阶模型的传递函数及其第k阶矩分别为

　　为了更好地实现降阶系统与原系统传递函数相近似,需要通过匹配G(s)的前q阶矩来计算Gq(s),即mk,q= mk(k =0,1,…,q-1),这样有

　　这里采用Arnoldi算法生成的Krylov子空间实现传递函数的矩匹配。Arnoldi算法是生成大规模线性系统降阶模型的一种普遍方法[5]。

　　为了使用Arnoldi算法对式(1)进行降阶时有统一表达形式,定义。对n×n矩阵A1及n阶向量b运用Arnoldi算法,得到q×q上Hessenberg阵Hq和n×q正交单位矩阵Vq,Hq和Vq满足如下关系

　　式中,E为单位矩阵。

　　从Arnoldi算法的过程可以得到

　　式中,‖·‖2是向量的2范数,e1为单位向量,k=0,1,…,q-1。

　　由传递函数第k阶矩的定义及式(10)有

　　即降阶系统与原系统传递函数的前q阶矩匹配,这样得到了与原模型(1)等效的降阶模型(4)。

　　由Arnoldi算法的矩匹配原理可知,状态方程(1)和(4)分别是在维数为n和q的状态空间近似表达同一个系统的输入2输出关系,但是采用方程(4)的求解空间大大缩小。而且,当降阶前后匹配的矩的维数越多,即q值越大,宏模型的准确度越接近原模型,相反,q值越小,宏模型的准确度会有所降低,但由于维数变小,求解速度加快,可以根据需要来选择合适的降阶维数q。