粘弹性阻尼器的力学特性分析

　　粘弹性阻尼器是吸能器的一种,它主要是利用粘弹性材料的剪切流动耗能特性来增加结构的阻尼,减小结构的响应幅度[1-3],达到减振缓冲保护设备的目的。其力学性能介于弹性和粘性之间,建模比较困难,对阻尼器耗散能量的估算更难。

　　因此国内外许多单位对此展开研究。其中较好的一种粘弹性阻尼器模型是分数微分Maxwell模型[4, 5]。分数微分模型通常是利用其弹性模量或损失模量表达式确定模型参数[5, 6],但是在使用该模型理论预测力-位移曲线时,由于分数微分的存在变得很困难。Makris用Fourier变换和反Fourier变换的方法对该问题分析过[4],但过程比较复杂。本文在正弦输入的假设下,求解了用分数微分Maxwell模型建模粘弹性阻尼器时力和位移的表达式,将理论计算的结果分别与已有的理论计算和试验结果进行了比较。此外给出了粘弹性阻尼器耗散能量的计算方法。

　　1　分数微分Maxwell模型

　　分数微分Maxwell模型是用分数阶导数代替经典的Maxwell模型中的一阶导数而产生的。模型如表达式(1),详细内容可以参考[4, 7, 8]。

　　其中σ是剪应力,ε是剪应变。λ是松弛时间,μ是粘性系数。r和q是介于0和1之间的小数。而且热工原理要求rFq[8]。当r=q=1时,分数微分Maxwell模型可以简化为古典Maxwell模型[8],当r=0, q=1时,分数微分Maxwell模型简化为牛顿流体模型[7]。

　　2　分数微分Maxwell模型的正弦分析

　　为了简化分数微分Maxwell模型的力学分析,进行如下推导。将应变分解成如表达式(2)所示的两部分

　　其中ε0(t)和ε1(t)的定义分别是

　　将表达式(2)与表达式(3)的左右两侧分别相加

　　可以看出表达式(5)恰好是分数微分Maxwell模型,表明表达式(3)和(4)的定义合理。进一步观察表达式(3)和(4)发现,对于一定的应力σ(t),ε1(t)与ε0(t)的r阶分数微分成正比,如表达式(6)所示:

　　将以上表达式代入表达式(2)得到:

　　假定ε0(t)是从零时刻开始的正弦输入

　　则应力和应变表达式可以从表达式(3)和(8)分别求得。将ε0(t)的表达式代入表达式(3)和(8),利用表达式(1)计算分数微分,求得应力和应变分别为:

　　从表达式(10)和(11)可以看出,应力和应变是实连续函数,它们描述了分数微分Maxwell模型的动态特性。当t→∞时,表达式(10)和(11)中的积分项可化为函数γr和γq的傅立叶正弦变换和傅立叶余弦变换,随着时间的增加,这些函数变成正弦函数。因此求得瞬态消失后的应力和应变稳态表达式为: