面形测量中相关拼接模型的精确求解方法

　　1　引　　言

　　相关拼接技术是根据物体的相同区域具有相同信息这一边界条件产生的,它对扩大空间测量范围,同时保持高空间分辨力、高测量精度和低成本有重要意义。拼接干涉仪减小了像素尺寸,增加了干涉仪的空间截止频率。现在商业化的干涉仪很容易达到0.2mm的像素尺寸,而大尺寸干涉仪仅能达到1.2～1.6mm,不可能测到小于2.4～3.2mm周期变化的面形。而对于特殊要求的光学元件,测出此变化周期的面形是非常重要的。同时,拼接干涉仪对测量中的温度变化、环境振动等的抑制能力比标准尺寸的干涉仪要好[1]。因此,目前国内外在研制变波长干涉仪的同时,也在积极研制拼接干涉仪。

　　最早提出的相关拼接模型基于齐次坐标变换,并采用线性求解[2、3],进一步又引入了映射的概念,提出了圆柱坐标系下的拼接模型[4],采用最小二乘迭代法求解相关参数。本文在此基础上提出了采用双重最小二乘迭代的求解模型,更符合拼接的物理意义,进一步提高了拼接精度。本文针对齐次坐标变换的拼接模型,给出了最小二乘迭代求解方法,并进行了仿真验证。

　　2　相关拼接模型

　　设被测区域上两个子孔径,其波面分别表示为W1=w1(x1,y1), W2=w2(x2,y2)。设坐标系(x2,y2,w2)相对于(x1,y1,w1)沿X、Y、W轴的平移分别为Px、Py、Pw,绕X、Y、W轴的转角分别为α、β、γ(以顺时针为正),由齐次坐变换,并考虑到在实际面形测试系统中γ=0,坐标系(x2,y2,w2)中某点在坐标系(x1,y1,w1)中的坐标为:

　　方程(1)～(3)中,Pw、α、β、x1、y1是未知的,Px、Py一般可以较为精确地获得,x2、y2为某点在坐标系(x2,y2,w2)中的位置,w2由系统测量得到。

　　在拼接区,它们的解满足:

　　式中,w1c(x1,y1)是计算结果,w1(x1,y1)是子孔径W1中对应点的测量结果。拼接模型求解方法:

　　(1)选定α、β、Pw的初值α0、β0、Pw0,代入方程(1)和(2),求得(x1,y1)处的波面值w1c(x1,y1);

　　(2)把w1c(x1,y1)代入方程(4),求得最小二乘解α、β、Pw;

　　(3)以求得的α、β、Pw作为初值,重复上述步骤,直到第k和k+1次计算结果满足下列条件:

　　式中,ε为根据处理精度选定的无穷小量。则此时的迭代结果即为求解结果。

　　3　仿真验证

　　首先利用Kinslake方程模拟一幅全口径为220×300的方形波面图,方程系数分别为A=-0.1,B=-0.4,C=-0.2,D=-0.1,E=0,F=0。然后将全孔径分成9个Φ150的子孔径0～8(重叠系数为0.67),以中心子孔径0为拼接基准,其他子孔径依次对它进行拼接。为了模拟实际测量中各坐标系之间的相对倾斜和平移,按照表1中的数据对1～8各子孔径加以不同的倾斜量。从图1可以看到拼接精度达10-4。通过建模仿真,证明本文提出的方法具有较快的收敛速度和较高的精度,是切实可行的。