子波变换及其在仪器仪表中的应用

　　0引言

　　子波变换被认为是付里叶分析的重大突破，它作为一种新的时间(空间)/频率分析工具，在近几年受到广泛的注意。从图像处理到语音合成，从地震信号处理到系统故障探测，从空气回流分析到CT、MRI，从量子力学到非线性科学都能看到子波变换的应用和成果。美国已将它列为90年代应用数学的8个前沿课题之一，英、法、德等国也纷纷投入力量进行这一领域的研究。

　　经典付里叶变换是以全时域作为整体进行分析的，信号的时变特性得不到体现。为了分析非平稳信号，使付里叶变换与短时、瞬变信号相匹配，人们发展了短时付里叶变换，即只要适当地选择窗函数g(x)，就可以通过信号f(x)的加窗付里叶变换F(wt)获得f(x)在2t。时间区域内的信息，但其缺点是分析窗的形状、长短一旦选定，其信号分析中时间和频率分频率便固定不变。因而，它对短时低能量的瞬变信号，分析效果不好。但是，借助子变换，我们就可以把信号分解成多个具有不同的时间和频率分频率的信号，从而可以在一个变换中同时研究低频长时现象和短时高频现象。这与通常的时变信号的特性相一致，用以分析时变信号十分有效，故它有“数学显微镜”之称。

　　1子波变换

　　子波变换是用一族函数去表示或逼近一信号或函数，这一族函数称为子波函数系。它是通过一基本子波函数的平移和伸缩构成，用其变换系数即可描述原来的信号。子波函数系表示的突出特点是它的时宽带宽乘积很小，且在时间和频率轴上都很集中。

　　若记基本子波函数为h(x)，伸缩和平移因子分别为a和b，则子波变换基底定义为

　　函数f(x)的子波变换定义为

　　它对应于f(x)在函数h，，b(x)上的分解。这分解成立的前提是h(x)满足如下可容性条件。

　　这里H(W)是h(x)的付里叶变换。因为条件(3)满足，函数h(x)可以描述为一带通滤波器的脉冲响应。因此子波变换(2)可描述为函数f(x)通过一带通滤波器的滤波。　由Wa，b(f)重构f(x)的子波逆变换定义为

　　w。是H(w)的通带中心频率，即

　　而aw是沿w。的rms(均方根)带宽，即

　　很显然，Ha，b(w)的rms带宽对所有a εR是一致的。所以子波变换将一信号分解为对数a坐标中一具有相同大小的多通道频带集合。换言之，子波ha，b(x)在频率中的能量集中于aw。，标准方差为aσw，而在相空间中，它的分辨胞元等于

　　这里的标准方差。从而可见，与加窗付里叶变换不同，子波分辨胞元随标度因子a的变化而改变。当a较小时，空域分辨性能差，而时域分辨较好;当a增加时，空域分辨率增加，而时域分辨率则减小。