数字光学轮廓仪中相位去包裹算法研究

　　1　引　　言

　　自动条纹分析技术在工业检测中有着日益广泛的应用。其中由相移(Phase Stepping)或是条纹图傅立叶变换实现的技术有一个共同的问题,即由于使用了反正切函数而使相位包裹在[-π,π]之间。为此需要进行相位去包裹处理(Phase Unwrapping)。在过去的十多年中发展了多种相位去包裹算法。其中较有代表性的有传统算法[1]、“支切”(Branch Cut)算法[2]、细胞自动机算法[3]、二阶相位差分算法[3]、最小价格匹配算法[5]、最小二乘算法[6]、一维快速傅立叶变换算法[7]、理想平面拟合算法[8]等。上述的各种算法中,除传统算法和最小二乘算法外的其它算法都是基于各自问题而提出的,因而不是普遍适用于各种测量表面。另外,由于早期计算条件的限制,每一种算法都是对健壮性与效率的折中。所谓健壮性,是指算法对条纹图中的不连续、噪声及低调制度的像素点的处理能力;而效率是指算法所需的计算时间。

　　在数字光学轮廓仪上使用何种相位去包裹算法是一个值得研究的问题。首先,由于测量表面类型的多样性,决定了算法必须具有较广的普遍适用性。其次,从仪器的实用角度出发,要求算法必须同时具有较好的健壮性和较高的效率。由于计算机技术的飞速发展,高速CPU和大内存芯片的出现,使得健壮性和效率俱佳的算法有了可能。基于这种考虑,本文研究了传统算法及最小二乘算法在自行研制的数字光学轮廓仪上的应用。

　　2　算法数学模型

　　2.1　传统算法[1]

　　Itoh给出了传统相位去包裹算法的数学描述。其实质为将反正切函数的主值看作是对真实相位Φ(n)进行包裹运算W的结果,数学描述如下:

　　其中Φpv(n)为主值,l表示不同包裹运算。

　　等价地

　　其中kl(n)是一供选择的整数序列以使

　　定义

　　则相位主值差

　　此结果主值可再次运用包裹运算,得

　　此即包裹相位的包裹差。因为包裹运算W2产生的值在[-π,+π]之间,所以,倘若

　　式(6)中2π[Δk1(n) +k2(n)]必为0。因此

　　从而

　　式(9)表明,通过对包裹主值差的求和运算可实现相位去包裹。显然,式(7)若不满足的话,真实相位是无法恢复的。此外,象素间小于π弧度的取样必须满足,否则,相位去包裹将失败。

　　2.2　最小二乘算法[6]

　　假定Φi,j为二维(M×N)离散点上的去包裹相位,Ψi,j为对应的包裹相位,则有

　　Ψi,j=Φi,j+ 2πk,　　k为整数

　　首先定义包裹算子W,有

　　定义