子孔径检测及拼接的矩阵分析

　　光学面形的检测是保证面形质量的关键,而用数字干涉仪进行面形测量是实现高精度测量的有效手段.现代天文光学的发展对大口径镜面的质量要求越来越高,用数字干涉仪对大口径镜面的测量势在必行,但用干涉仪测量高精度面形时,要求有一块与被检尺寸相同的标准面形,这在检测大口径面形或光学系统时,常常是办不到的.文献[1]～文献[3]中提出了用子孔径检测的方法实现大口径面形的测量,即每次仅检测整个孔径的一部分(子孔径),并使各个子孔径间稍有重叠,然后采用拼接技术得到全孔径的检测结果,从原理上实现了对大口径镜面的数字干涉测量.然而现有的拼接技术仅实现了两个子孔径间的拼接,并以此为基础通过两两拼接的方法实现多个子孔径的拼接,这样往往会造成误差传递和积累.虽然采用合理的拼接模式[4]可降低误差传递,例如可选取某一子孔径为基准,其他子孔径均与之重叠.但有时在实际测量中难以找到可作基准面的子孔径,使拼接过程中的误差传递和积累不可避免.本文作者在自行开发的SPG-2型数字波面干涉仪的基础上,对大口径面形的检测进行了研究,提出新的拼接理论,即通过建立子孔径拼接目标函数,寻求使目标函数达到最优时的解,可实现多个子孔径的拼接,求解过程通过矩阵运算实现.该方法既减少误差传递和积累,又便于编程实现,可应用于大型高精度光学系统或镜面的加工和测量.

　　1　两个子孔径的拼接原理和子孔径坐标变换

　　如图1所示,孔径A和B分别为用子孔径检测某一大口径时的检测区域,它们的重叠区用阴影表示.由于两次检测存在不同的平移、倾斜及离焦,故子孔径A和B的检测结果分别为

　　其中:PA,PB为平移系数;KxA,KyA,KxB,KyB为倾斜系数;DA,DB为离焦系数.在重叠区域,有

　　利用重叠区域中的测量值,可用最小二乘法求出PA-PB,KxA-KxB,KyA-KyB及DA-DB,从而实现两子孔径的拼接.

　　如图2所示,子孔径中心点在全孔径坐标系中表示为(x0,y0),而在子孔径中以其中心点为原点建立子孔径坐标系(x′,y′),其检测结果表示为

　　其中:P′为平移;K′x,K′y分别为子孔径检测时存在的x,y方向倾斜;D′表示所存在的离焦.在全孔径坐标系中,检测结果为

　　记W0(x,y)=W′0(x-x0,y-y0),则

　　令P=P′-K′xx0-K′yy0+D′x20+D′y20,Kx=K′x-2D′x0,Ky=K′y-2D′y0,D=D′,E′=[P′K′xK′yD′]T,E=[P K′xK′yD]T,向量E′,E分别表示子孔径安装误差在不同坐标系中的表达形式,它们之间的关系为

　　为讨论方便,采用全孔径坐标系,确定每个子孔径的安装误差向量E后,利用式(3)可求得E′,得到子孔径真正的平移、倾斜及离焦系数.