大口径主反射镜轻量化结构拓扑优化设计方法

　　1　引　言

　　车载光学仪器中的大口径主反射镜,由于机动性强、口径大,为了在满足镜面面型要求和结构刚度的前提下,尽可能减少其重量以及改善其动力学特性,必须进行结构优化设计。结构优化通常分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化。其中尺寸优化和形状优化技术已经比较成熟,但对结构优化所起的作用有限[1]。而拓扑优化处于结构的概念设计阶段,其优化结果是一切后续设计的基础,是结构优化中最具生命力的研究方向。

　　结构拓扑优化设计的主要思想是把寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计区域内寻求材料的最佳分布问题[2]。具体来说就是在一个确定的连续区域内寻求结构内部非实体区域位置和数量的最佳配置,寻求结构中的构件布局及节点联结方式最优化,使结构能在满足应力、位移等约束条件下,将外载荷传递到结构支撑位置,同时使结构的某种性态指标达到最优[3]。利用拓扑优化进行主反射镜的轻量化结构优化设计方法克服了传统主反射镜参数化设计的局限性,可完成设计所要求的轻量化主反射镜的最佳拓扑结构形式。

　　2　拓扑优化流程

　　2.1　基本理论

　　变密度法是连续体拓扑优化的常用方法,属于材料描述方式。其基本思想是引入一种假想的密度,即0~1的可变材料,指定每个有限单元的密度相同,并以每个单元的相对密度为设计变量。当单元相对密度xe=0时,表示该单元无材料,单元应删除;当单元相对密度xe=1时,表示该单元有材料,保留或增加该单元。变密度法直接假定相对密度与材料弹性模量之间的非线性对应关系。其中应用得比较多的模型是SIMP(solid isotropic microstructurewith penalization)法。材料模型为

　　式中:xe为每个单元的相对密度;ρ(x)为拓扑优化设计变量;ρ0为设计区域每个单元的固有密度;E(x)为优化后的弹性模量;E0为初始弹性模量;p为惩罚因子。

　　目前,拓扑优化的求解方法很多,主要有优化准则法(OC)、序列线性规划法(SLP)和移动渐进线法(MMA)等[4]。优化准则法(OC)简单而且有效,在结构优化中占有十分重要的地位,这一方法是根据数学规划理论中的Kuhn-Tucker条件导出优化规则,并通过数值迭代求解最优解的。

　　2.2　优化问题的定义及描述

　　针对所研究的大口径主反射镜,目的是在满足镜面面型要求和结构刚度的情况下,使主反射镜重量最小,即体积最小。考虑到有时由拓扑优化得出的设计方案难以加工,因此添加一些与制造工艺相关的约束,如最小最大尺寸、对称问题等。对镜面面型误差的约束来说,由于其PV和RMS值求解起来十分复杂,所以可通过由镜面指定节点位移约束来代替。自然频率fn与主镜结构的刚度矩阵K及质量矩阵M之间的关系为