柱面透射光栅的衍射特性

　　引　言

　　任何一种衍射单元周期性地重复排列所形成的阵列能对入射光的振幅和位相或二者之一产生空间调制的都可以称作光栅。按不同的分类方法,有振幅型和位相型,透射式和反射式等。对振幅型平面透射光栅、位相型的闪耀光栅和正弦光栅,在许多光学文献中都有研究,对于较低空间频率的柱面透射光栅文献[1-2]作了应用性研究,而较高空间频率的柱面透射光栅迄今为止尚未作过较详尽的分析[2]。本文用傅里叶光学的方法,对较高空间频率的柱面透射光栅的夫琅和费衍射特性进行了分析和研究,用计算机模拟出了其衍射光强分布规律,并针对衍射特性提出了可能的应用。

　　1　理论分析

　　柱面透射光栅的截面结构如图1所示,由一个个宽度为d、折射率为n的平凸柱面透镜阵列所组成,每一个柱面透镜凸面的曲率半径为r。为了分析的方便,我们将柱面透射光栅的一个单元经比例放大后重新画为图2,取图2所示的坐标系,由于在y轴方向上各量都相同,因此把柱面透射光栅当作一维情况来处理。设入射光波沿z轴方向传播,当经过柱面透镜后入射波的波前有位相延迟,延迟效应的大小正比于柱面透镜各点的厚度,若将图2的柱面透镜沿x-z平面分为厚度为b的平面部分和最大厚度h0的柱体部分,第一部分由于厚度相同而对入射波各点的位相延迟都相同,因此在柱面透镜总的位相延迟中,如果省去对光强无贡献的平面部分位相延迟因子,将不会影响我们在后面对光强分布的讨论。设在坐标为x处柱体的厚度为h(x),那么入射波通过柱面透镜时,在x处所引起的位相延迟为

式中k=2π/λ为入射波的波数,knh(x)是由柱面透镜引起的位相延迟,k[h0-h(x)]是空气曲面引起的位相延迟,这样,柱面透镜对入射波前的作用等效于一个透射系数为

的位相体。

　　根据图2所示,由几何关系可以求得

　　考虑到在(3)式中ik[-(n-1)r+nh0]这一项与x无关,省去它同样不会影响我们在后面对衍射光强分布的讨论,因此(3)式可以简化为

　　考虑到x的取值有可能与r同一个数量级,使得(4)式中的根号这一项不能作近似展开。

　　设用单色平行光垂直入射到柱面透镜光栅上,入射光场的复振幅为

其中U₀为复常数,当它通过宽度为d的柱面透镜后,其透射场的复振幅为

　　可见,只要求出(7)式的傅里叶变换,再由(8)式就可以求出柱面透射光栅的衍射光强分布情况。

　　2　计算机模拟结果与分析

　　对(7)式无法求得它的傅里叶变换解析表达式,我们取柱面透射光栅的折射率n=1.514,柱面曲率半径r=140μm,光栅常数d=100μm,用IBM-PC386计算机上的MATLAB语言在100μm宽度内取2000个抽样点,抽样间隔为0.05μm,分别模拟出如图3(a)单柱面透镜的衍射光强分布、(b)多光束干涉的光强分布和(c)10个柱面透镜组成的光栅衍射光强分布所示(x0为计算机模拟坐标),可以看出柱面透射光栅衍射光强分布与朗奇(Ronchi)光栅衍射光强分布类似,即(7)式经过傅里叶变换后仍应包括单柱面衍射因子和多光束干涉因子的乘积。也就是说,柱面透射光栅的衍射光强分布是多光束干涉受到了单柱面衍射的调制,且衍射光强的各级极大值分布仍符合光栅方程。在我们的模拟条件下,各级光强几乎呈均匀的“平顶”状分布,从“平顶”的中间到两边,光强的起伏逐渐增大,到“平顶”的边缘最后一个谷、峰时起伏最大。