剪切干涉仪与哈特曼波前传感器的波前复原比较

    在激光自适应光学系统[1,2]、光学元件的表面检测、激光的光束净化[3]等领域中波前传感器得到了广泛的应用。常用的波前传感器有横向剪切干涉仪(Lateral shear interferometer,LSI)与哈特曼波前传感器(Hartmann wavefront sensor,HWS)。传统的剪切干涉仪由于装置简单但波前复原繁琐,一般用来检测光学仪器的象差。本文讨论结合现代电子及计算机技术利用LSI测量光波波前的方法。并与HWS方法进行比较。

    1  LSI波前复原

    LSI的原理是将光束波前在某一方向上剪切后与原光束进行干涉,形成干涉图样。令待测光束波前为W(x,y),其光场E(x,y) =Aexp[ikW(x,y)]。若在x方向上剪切干涉,剪切量为s,则干涉图样为

                                                                                       I(x,y) = Aexp[ikW(x,y)] +Aexp[ikW(x-s,y)] 2= A 2{2 + 2cos[kΔWx(x,y)]}    (1)

其中,ΔWx=W(x,y)-W(x-s,y)为波前在(x,y)点上的x方向差分值,k为波数。若干涉时在x方向上引入一倾斜量δx=θkx(θ为倾斜角),则干涉图样为

   令没有剪切时的等厚干涉条纹为x方向剪切的标准条纹,即

   通过对(2),(3)式条纹极值位置的处理,可以分别得到极值条纹满足kΔWx(x’,y) +kx’θ=nπ;kxθ=nπ,n∈Z。其两式的差即是波前W(x,y)在标准条纹极值位置处的x方向差分值

(x’i),yi,(xi,yi)分别为剪切干涉条纹和标准条纹上的极值位置坐标,即为W(x,y)上的采样点。i= 1,2 …,Nx,Nx=nfx×ns,nfx为标准条纹数,ns为每条条纹上采样点数。同理,可以得到波前W(x,y)在标准条纹极值位置上的y方向差分值ΔWyi(xi,yi)。i= 1, 2,…,Ny,Ny=nfy×ns,nfy为y方向剪切的标准条纹数。

    假定待测波前可以由一组正交多项式拟合[4],

其中Pl(x,y)为拟合多项式,如Zernike多项式;Cl为展开系数。则待测波前W’(x,y)在LSI上x,y方向的差分值分别为ΔW’x,ΔW’y。对x方向

其中Xl(x,y) =Pl(x,y) -Pl(x-s,y)。记ΔW’xi(i= 1, 2,…,Nx)为拟合波前差分值在标准条纹上的采样值。定义优值函数

其中,σi为第i个数据点的测量误差。令 χ2/ Cl=0,可得

其中

    对于(8)式的求解,一般可以有正规方程组法和奇异值分解法(SVD),但由于正规方程组法对舍入误差十分敏感,故利用SVD法从(8)式求得Cl。x方向剪切时,由多项式的性质可知,(6)式中Xl(x,y)比Pl(x,y)的阶次低一阶,使Cl不完备。通过对y方向同样处理后,两次系数平均求得Cl,代入(5)式便可复原出待测波前。

    2  HWS波前复原

    HWS原理是将光束波前在Nh个子孔径上将波前分割为Nh块,在各个子孔径的焦平面探测出各自的光斑重心。设待测光场如(1)式,则第n个子孔径对应的光斑重心为