方形自聚焦透镜的折射率分布研究

引言

    自聚焦透镜是应用十分广泛的一类有重要意义的透镜，由于自聚焦透镜具有数值孔径大(可大于0. 6) ,焦距短(焦点可位于端面上)、直径小、圆柱形、聚焦光斑小(可小于lμm>、成像分辨率高等优点，已广泛用于光纤通信、光纤传感和光信息处理等领域〔1一3〕。随着科技的发展，微透镜的集成化和阵列化是发展的必然趋势〔4-6〕。当前应用的微透镜阵列大多数是由圆柱形或者半圆球形微透镜构成的，均因不能很好地消除透镜元之间的空隙对光信息的损耗，不可能从根本上解决提高受光面积、减少光信息损失等问题〔7〕。为了解决这一问题，作者研制出了方形自聚焦透镜[8]。

    方形自聚焦透镜也是一种变折射率光学元件，但由于本身的特点，折射率分布不单纯关于某个轴对称，即折射率分布从整体上而言，不再是1维的，而变成了2维的情况图。要得到方形自聚焦透镜的折射分布，需要严格求解方形边界条件的扩散方程，但该过程较为复杂[9]。作者首先介绍了制作自聚焦透镜的基本理论，然后从理论上分析了采用圆形边界条件下扩散方程的解，近似方形边界条件下扩散方程的解的可行性，在此基础上得到了一个描述自聚焦透镜折射率分布的半经验公式，该公式形式简单，对折射率的计算非常方便且有较高的精度。

1制作方形自聚焦透镜的基本理论

    引起玻璃介质折射率变化的原因有很多种，最重要的一种就是通过离子交换使玻璃介质中的某种离子数目发生变化，其原理[10]就是在热驱动条件下，让引进的扩散离子部分置换玻璃中的某种离子，从而使得玻璃中该种离子数目按一定规律变化，并引起折射率也按相应的规律变化。

    在制作方形自聚焦透镜的过程中采用的玻璃丝长度远大于其半径，因此，玻璃介质内离子浓度C(r,θ,t)满足的扩散方程在极坐标系下可以写为[11]:

式中，D为扩散常数，t表示时间，r和θ分别表示极坐标下的极径和极角。当扩散到一定程度时，离子浓度形成稳定场分布，此时离子浓度与时间无关，即C(r,θ,t)=C(r,θ)。假设线性叠加原理依然是成立的，即认为玻璃折射率的变化等于所考虑的每个交换离子对折射率贡献之和，因此，认为折射率的变化与所考虑的浓度成线性关系，即有:

n(r,θ)=KC(r,θ,t)(2)

式中，K为常系数。

    方形自聚焦透镜的制作方案目前主要有两种〔11〕，一是先对圆形玻璃棒进行离子交换，然后加工成方形棒，最后制成透镜样品;二是先把圆柱形玻璃棒加工成方形棒，再进行离子交换，最后制成透镜样品。前者在离子交换理论上较为成熟，但由于后期加工同样改变了折射率的径向对称分布，而且通过良好的工艺以及退火条件后一种方案制成的自聚焦透镜像差较小，因此选择后者制成了方形自聚焦透镜。