评价任意面型微光学元件制作误差的方法

　　1　引言

　　任意面型微光学元件能够产生任意的波前变换,且结构紧凑。这类元件在近年来兴起的大气湍流模拟^[1] 、人眼像差矫正等^[2] 研究中获得了广泛应用,随着应用领域的不断拓展,任意面型微光学元件的研究成为微细加工技术的发展方向之一。

　　在微光学元件的研制中,加工误差分析是必不可少的环节,即将评价参数的设计值与实测值进行比较,以评估加工精度。连续面型微光学元件的面型测量通常采用干涉仪,在测量时,被测元件很容易出现旋转对准偏差。对于轴对称元件而言,这种偏差对误差分析没有影响,但是,对于任意面型的元件而言,该偏差的影响则必须被考虑。因为干涉仪数据的坐标系是不可见的,所以,即使提高元件载台的定位精度,也不可能精确地消除对准偏差的影响,而且,这种基于硬件的方法将导致系统复杂化,增加测量成本。

　　本文采用泽尼克多项式展开方法来描述微光学元件的设计面型与实测面型,给出了泽尼克系数对旋转角度的依赖关系式。以设计面型与实测面型的均方根偏差(RMS)为加工误差的评价参数,通过计算其对旋转角度的依赖曲线的最小值,获得加工误差值。数值模拟结果表明了该方法的有效性。

　　2　方法

　　假设设计面型的高度函数为h _d(r),干涉仪实测面型高度函数为h _e(r),其中r=(x,y)为二维平面位置坐标。获得设计面型的方法取决于应用需求。在元件测量时,通常设计面型的坐标系与干涉仪测量数据所用的坐标系之间存在旋转对准偏差,也就是说,h  _d(r)与h _e (r)的坐标系并不相同,而是差一个未知的旋转角度α ₀。

　　对于面型比较简单的微光学元件而言,例如微透镜,以峰谷值(PV)为评价参数,就可以准确地评价加工误差;对于任意面型元件而言,加工误差的评价参数要能够反映出每一位置处设计高度与实测高度的偏离。定义

　　其中,h _e(α,x,y)是实测面型h _e (r)旋转角度α后的面型函数,积分在元件有效孔径内进行,Sp是元件有效孔径的面积。当α=-α0时,(1)式恰好给出设计面型与实测面型的均方根偏差(RMS),这一参数表征了设计值与实测值绝对偏离的平均,可作为加工误差的评价参数。

　　假设加工误差比较小,则RMS是RMS(α)所有旋转角度下的最小值,因此,可以通过计算RMS(α)曲线,并找到它的最小值来估计加工误差,而该最小值对应的角度的负值即是旋转对准偏差角。如果对每一个旋转角度直接计算(1)式,则计算量过大,在实用中也受限制。由于泽尼克多项式^[3] 在旋转变换时具有特定性质,利用它来解决这一问题是非常方便的。将设计面型高度函数和实测面型高度函数利用最小二乘拟合方法表述为泽尼克多项式的线性叠加,即