基于GM-ARMA组合模型的全球年平均气温预测

　　气候变暖是 21 世纪全球面临的最严重挑战, 据 IPCC 评估报告称, 地球气温变暖将导致更为频繁的洪灾、热浪、两极冰盖融化、海平面上升; 澳大利亚将出现严重干旱, 全国缺水, 而部分太平洋岛国将被上升的海水淹没; 在 2080年将会有 2 亿~6 亿人受到饥荒影响, 11 亿~32亿人受水荒影响。温室效应已经向全人类敲响了警钟。因此能够较为准确地预测全球年平均气温在未来数十年内的发展趋势对于指导国际社会采取有力措施来应对全球温室效应问题具有重要意义。

　　通过观察历史数据可知, 全球年平均气温的时间序列为既含有确定性的动态趋势又含有随机性波动的非平稳时间序列。对于平稳随机序列, 自回归滑移平均 ARMA[1]是最成熟的统计学分析方法之一。而灰色系统理论 GM[2]则是一种动态趋势预测理论, 将这两者结合用于全球年平均气温预测将会是一种非常有益的探索。本文首先应用灰色系统理论建立了全球年平均气温趋势项且含有残差修正的预测模型, 然后对剔除趋势项后的数据进行时间序列分析建立ARMA 模型。最后结合以上两种模型构成了GM- ARMA[3]组合模型来对未来全球年平均气温进行了预测。

　　1 GM- ARMA 组合模型及其建模

　　1.1 GM(1, 1) 残差修正模型

　　动态趋势项的灰色系统预测主要是基于GM模型 , GM模型是一个拟微分方程的动态模型, 它可以 较好地描述系统内部特征和发展趋势, 其外推预测性能优于统计回归方程, 而且也不要求样本数据有较大容量和满足一定统计分布。其中 使用最多的是 GM(1, 1)模型。

　　设有 k 个原始非负样本序列

　　通过分析上述模型的预测序列的残差值,如果发现该残差序列还具有一定的趋势性, 同样也可以对于残差序列建立 GM(1, 1) 模型来预测残差值, 从而对第一步中得到的预测序列进行残差修正。

　　1.2 随机波动项的 ARMA 模型^[5]

　　对于剔除趋势项后得到的随机波动项, 一般近似为一个零均值平稳时间序列, 满足时间序列建立 ARMA 模型的条件, 如果不满足条件,则可采用差分法, 使随机波动项尽可能地趋近于零均值平稳时间序列, 从而可用 ARMA(p, q)模型来描述:

　　故 ARMA(p, q)模型有 p+q+1 个未知参数。要确定这些未知参数, 首先要确定模型的阶次,即 p 和 q 值, 这两个值可以直接根据时间序列的自相关系数和偏自相关系数的截尾性确定

　　但是由这个方法确定的预测模型的精确度不一定高, 所以也可以人为地预先设定阶次的范围,一般阶数的上界 Nb不超过 1/3N~2/3N , N 是样本长度, 然后根据模型残差方差检验准则进行模型阶数的最终确定, 其中常用的准则有 AIC准则. AIC 的值越小则说明拟合模型的预测精度越高。