图像修复的邻域差值扩散模型

　　1　引　言

　　图像修复是当前数字图像处理领域的研究热点,它在图像处理、视觉分析、电影工业、图像传输等方面均有广泛的应用。数字图像修复有三阶偏微分方程(本文称为BSCB模型)等很多种方法[1~6]。这些方法不是将破损区域外的信息扩散到区域内部,它们的修复过程是由偏微分方程来完成的。这些算法虽然从各方面对图像修复这一技术进行了改进,但都存在一个共同的缺点,就是修复后的区域会产生模糊,尤其在修复大区域时,这种模糊非常明显。本文正是针对这一问题,以BSCB模型为基础,提出了一个新型的偏微分方程———邻域差值扩散模型。

　　2　BSCB模型

　　BSCB模型模仿了流体动力学中的N-S方程(Navier-Stokes,N-S)[7],是一个等照度线光滑延伸的修复算法,它将图像的灰度场看作一个流体,图像灰度函数就相当于流函数,等照度线( isophote,水平线)方向就是流的速度方向,而图像的光滑度就是流的漩涡(vorticity)。BSCB模型的偏微分方程表示为:

　　

　　其中: 为梯度算子;Δ为拉普拉斯算子; ⊥表示梯度的正交。当方程收敛时,修复区域内外的水平线就达到了光滑状态,也就是水平线被光滑地延伸到待修复区域。为了确保迭代过程中有正确的方向场,算法在执行时,每迭代15次,就进行2次各向异性扩散:

　　其中:κ(x,y, t)为水平线曲率;gt(x,y)为扩散率函数,在待修复区域的外部为0,在区域内部为1。BSCB模型在修复图像时,采用了一种将破损区域周围的信息逐步向区域内部扩散的方式,而扩散的信息是表征图像平滑度的图像Laplacian的变化量,因此所得到的修复图像中平滑的效果很突出,导致了图像的边缘出现模糊。另一方面,在BSCB

　　模型的执行过程中,为了避免等值线的交叉,保证平滑信息扩散方向的正确,大约每执行15次BSCB模型就要执行2次各向异性扩散。虽然这种各向异性扩散理论上是仅沿等值线方向进行的,但由于偏微分方程离散化过程中的一些近似计算,所采用的各向异性扩散也不可能严格地沿等值线方向进行。这种扩散的多次执行(BSCB模型迭代1500次,就要执行各向异性扩散200次)必然会加重图像边缘的模糊现象。针对这两点主要原因,本文提出了邻域差值扩散(Neighborhood Difference Diffusion, NDD)模型。

　　3　NDD模型

　　3.1　扩散方向

　　与BSCB模型一样,NDD模型在修复图像时也采用将破损区域外的信息扩散到区域内部的方式,但扩散的方向不再是待修复像素点的等值线方向,而是待修复像素点5×5邻域内所有已知像素等值线的平均方向。NDD模型这样定义扩散方向的原因有三个:一是提高算法的鲁棒性,在自然图像中,只在一点用梯度旋转的方法求扩散方向是很不准确的,而这一点又是已经受损的像素点,那么由它计算出的扩散方向误差会更大;二是可以使偏微分方程的解在一个邻域内最优,而不是仅对一点最优;最后,采用这种平均等值线的方法会使扩散的方向更调和,更容易保证扩散方向的正确,从而减少各向异性扩散的使用,有助于图像边缘的保持。