基于全隐式无分裂算法求解三维N-S方程

　　1　引言

　　在数值模拟流体力学中越来越复杂时,往往期望高精度高分辨率格式的出现,然而,这些格式会带来比较复杂的计算。对于求解定常Navier-Stokes方程,从某种意义上讲,显式方法已得到广泛的应用和发展,但是由于稳定性的限制,即使是采用一些加速技术,这种方法收敛的比较慢。然而,对于非定常流、紊流问题,这些加速方法的效率也会降低。

　　随着计算流体力学方法的研究及计算机硬件的发展,为了提高工作效率,隐式算法的研究也正在逐步深入开展。目前,对于高维问题,广泛应用的隐式方法有:对角化隐式格式[2],近似隐式分解法[3],L-U隐式格式[4]。文献[5]在非结构上运用预处理的共轭梯度方法求解了可压缩流动,并得到了较好的效果。然而,与结构网格相比,由于非结构网格单元排序的任意性,隐式离散后的系数矩阵的带宽比较大(特别是三维情况),这给矩阵存储及方程组的求解带来不便。

　　本文研究的一种全隐式无分裂算法不需要重构网格,没有产生分裂误差,即隐式离散后的大型稀疏方程组的系数矩阵保持不变,不需要逼近分裂,这是与对角化方法、近似隐式分解法及L-U方法的不同之处。通常,系数矩阵具有非常复杂的结构,矩阵的每行有几个块矩阵元素(二维情况:元素为4×4阶矩阵;三维情况:元素为5×5阶矩阵)。为减少Jacobian矩阵的存储和矩阵向量之间的运算操作数,本文采用一种简化方法,可以降低原来的运算量及存储量。对于隐式离散引起的方程组,本文通过一种子空间方法即GMRES方法进行直接求解。为加速收敛,该方法通常与预处理方法[6]结合起来,即在运用该方法直接求解方程组之前,通常先进行预处理,然后再直接求解。为检验该方法,本文将其应用于一些比较典型的数值模拟问题之中。

　　流体力学数值计算中常用的网格主要有结构网格与非结构网格。对复杂的几何外形,要生成高质量的单块结构网格是比较困难的。非结构网格、多块网格可以解决这个问题。然而,与结构网格相比,非结构网格上求解的高精度不容易保持。另外,非结构网格需要复杂的数据结构,如点、单元、单元与单元的连接信息等。因此,本文算法是基于多块结构网格上研究。

　　2　控制方程

　　在笛卡尔坐标系下,三维雷诺平均Navier-Stokes方程的无量纲形式的表达式为

　　对于粘性项,本文采用中心方法离散。粘性项的离散需要单元中心处三个速度值及其导数值,同时也需要温度的导数值。单元边处的三个速度分量值可由相邻单元中心处的速度求平均插值得到,为了便于表达,本文以i方向为例说明,其他方向类似。如图1所示,单元I与单元I+1交界面处的速度表达式为