旋转螺旋管道内粘性流动

　　旋转曲线管道在自然界中随处可见,地球表面的河流就是典型的旋转曲线管道,自1905年以来,人们就开始研究由于地球的旋转造成的河床冲刷现象;在工业上,旋转曲线管道被广泛应用于各种气轮机、冷却设备以及物质分离器中[1].因此,旋转曲线管道内流体流动问题成为近代流体力学领域研究较多的基本问题之一.但以前的研究都集中在圆截面[2~6]或矩形截面[7~10]弯管,即都忽略了挠率的影响.为了研究挠率对旋转螺旋管道内流动特性的影响,本文首先根据张量分析理论推导出旋转螺旋坐标系下流体的相对运动方程,采用摄动方法求解了旋转圆截面螺旋管道内的粘性流动,得到完全二阶摄动解,结果表明:该流动与静止螺旋管道内、旋转平面弯管内的流动存在明显的差别

　　1　旋转螺旋坐标系N-S方程

　　如图1所示圆截面螺旋管道绕其曲率中心以定常的角速度旋转,其中心线为螺旋曲线s(图中R为曲率半径, 2πK为螺距,α为螺旋线s和水平面的夹角),曲率为κ,挠率为τ,管道半径为Rc.其中心线s在o′点的切线、法线、负法线分别为 T、 N、 B,在( N, B)平面内以o′为原点定义极坐标(r,θ),以r,θ,s为螺旋坐标变量,由张量分析理论[11],可以得到其自然基gi为:

　　2　圆截面旋转螺旋管道内粘性流动的摄动解

　　2·1　问题的引入　引入如下无量纲数:

　　2·2　摄动解　假定曲率κ和挠率τ为小量,即:κ=ε 1,τ=λε 1,以ε为小参数,将w和ψ展开如下形式

　　将式(7)代入无量纲的方程,并比较ε各次方的系数,就可得到各阶摄动方程,解此方程并考虑到边界条件式(6),可得:

　　其中m=cosα,n=sinα.将上述各式代入式(5),就可以得到二次流速度的表达式.

　　3　结果讨论

　　对于正旋转,科氏力和离心力的方向相同,科氏力的作用仅使二次流强度加强,其涡结构和静止螺旋管道的流动相同;对于挠率τ为零的情况,文献[3]和[5]进行了较为细致的讨论.因此本文将讨论负旋转螺旋管的流动.

　　3·1　二次流动分析　Ishigaki (1966)指出,二次流的强度可由二次流速度的最大值来表示,图2给出几种挠率情况下,二次流速度最大值Vmax随科氏和离心力之比F的变化情况.图2表明:当F≈-1·22时,二次流强度最小,此时科氏和离心力大小近似相等,而方向相反,这样因相互抵消减小了对流动的作用;当F<-1·22,二次流强度随F的增大而减小;当F>-1·22,二次流强度随F的增大而增加.图2还表明:当F<-1·22,挠率对二次流强度的作用明显强于F>-1·22的情况.图3给出二次流型随F的变化情况,其控制参数为De=20,κ=0·05,τ=0·1 (左侧为外侧). Chen&Jan (1992)指出螺旋管内的二次流不再上下对称,而是沿顺时针方向旋转,这和本文F=0时结果相同;F=-1,意味着科氏力和离心力大小相同而方向相反,在科氏力的影响下,靠近壁面的二次流速度减小,因离心力产生的涡1、2沿顺时针方向旋转,同时其中心移向圆截面的中部;随着F绝对值的增加,科氏力逐渐加强,在靠近外侧的壁面处产生两个附加的涡3和4,F=-1·20时,因科氏产生的二次流(3、4)和因离心力产生的二次流强度近似相同;F的绝对值继续增加(F=-1·30),离心力相对于科氏力的作用减弱,涡1和2被挤向截面的中部,涡3和4几乎充满整个截面;当F=-1·35时,科氏力完全控制了二次流,涡1、2消失,涡3、4的中心靠近管道的外侧,在截面中部较大区域内,二次流速度较小,因挠率的影响,二次涡并不上下对称;随着|F|增大,二次涡的个数不变,但二次涡随|F|的改变沿顺时针方向旋转,F=-2·00时,二次涡的方向和F=0·00时相反.