微元体分析法在偏心环状缝隙流动公式推导中的应用

　　引言:偏心环状缝隙流公式是经典液压中的常用公式,有着非常重要的实用价值。前人在求其计算公式时,并没有对微元体进行受力分析,而是将偏心环状间隙流的微元缝隙类比于平板间压差剪切流的微元缝隙,直接利用后者的公式来求解。而且,在求微元缝隙高度h时也作了近似。这些类比和近似将会导致求解偏差的出现。

　　鉴于此,本文将先对微元体进行受力分析,然后结合牛顿内摩擦定律建立偏微分方程求解。值得注意的是,由于本文没有出现对微元缝隙高度的近似处理,因此可以认为,本文得出的结论并不仅仅局限于薄缝隙流动,对内外径相差较大的大缝隙偏心环状流动也是适用的。

　　公式的推导:偏心环状缝隙间隙流的基本假设在经典教材中已列出,在此不再赘述。

　　如图1所示:

　　如图2所示,进行微元体分析:

　　可见,于是,与向量方向一致的单位向量便是:

　　设速度分布由牛顿内摩擦定律,两边对y求偏导可得:代入式(4)得:

　　由式(9)并结合I和J的定义式可得流量公式:

　　显然,而所谓Qmax=215Qmin(参见参考文献[1]第45页)应是约数,笔者认为应予修正。

　　当0<e<R-r时,要求泄漏流量Q,需求出T的值,而式(10)是级数式,但我们只需取前几项,便足够准确了。

　　如仅取一项k=0,由式(10)可得:

　　分析式(10)可知,当级数的项数取定后,M、N越大,T的截断误差就越大。而,则随着e的增大M、N均增大,于是T的截断误差就增大。我们只须考查当e=emax=R-r时,由式(14)给出的T的误差。