递推最小二乘法在角位置误差检定中的应用

　　目前,在对多面棱体和多齿分度台进行检定时,采用全组合方法[1-2],但是如果检测的多面棱体工作面较多,如23, 24和36面棱体,需要检测出529,576和1296个数据,工作量非常大。全组合检定的精度比较高,能否采用部分组合方法,既可以减少测量次数,又能满足检定精度要求,是本文将要讨论的问题。

　　1　测试装置

　　以正23面棱体和391齿盘的检定为例,测试装置主要由自准直仪、正23面棱体和多齿分度台组成,测量时一共要测量23个序列,以第一序列和第二序列测量为例,步骤如下:

　　第1序列:齿盘起始对准0齿,自准直仪对准23面棱体的第1工作面,读出自准直仪的读数θ1, 1,齿盘分别对准17, 34, 51,…, 374,此时自准直仪分别对准棱体的第2, 3,…, 23工作面,读出自准直仪的读数θ1, 2,θ1, 3,θ1, 4,…,θ1, 23。

　　第2序列:齿盘起始对准17齿,松开棱体,棱体反转15·6522°,自准直仪对准23面棱体的第1工作面,读出自准直仪的读数θ2, 1,齿盘分别对准34, 51,…, 0 (391)齿,此时自准直仪分别对准第2, 3,…, 23工作面,读出自准直仪的读数θ2, 2,θ2, 3,θ2, 4,…,θ2, 23。

　　依此类推,一共测量23个序列,共529个数据,然后将所测数据进行处理,可以分离出齿盘与棱体各自的工作角偏差。

　　2　测试原理

　　按照以上测试序列,自准直仪的读数为表1中的θ1, 1,θ1, 2,…,θ23, 23。对这些测量数据首先进行预处理,进行数据归零,即每一个序列的数都减去初值θi,j,θi,1。

　　设齿盘的17, 34, 51,…, 374齿的零起角位置偏差为φ2,φ3,φ4,…,φ23,正23面棱体的第2,3,4,…,23工作面按照棱体工作面序号增加的方向相对于第1工作面的偏差为β2,β3,β4,…,β23,建立误差向量x=[φ2,φ3,φ4,…,φ23,β2,β3,β4,…,β23]T。

　　归零后数据的理想值为表1中每行上面的数,即φ2-β2,φ3-β3,…,φ21-φ23-β22,φ22-φ23-β23等。

　　误差向量x=[φ2,φ3,φ4,…,φ23,β2,β3,β4,…,β23]T是通过测量数据拟合出来的。表1各个单元格上下相应的差值即为残余误差。误差向量x共有44个未知数,通过两个测试序列就可以解算出这个误差向量。测试两个序列以后,每增加一次观测序列,计算一次新的误差向量,然后计算出相应的残余误差,再通过残余误差可以估计标准差。

　　利用表1某两个序列,例如第1序列和第2序列的数据可以计算出误差向量x,但仅用两个序列的数据,x的测量误差将很大,如果全部测量出23个序列的数据,虽然将会减小x的测量误差,但工作量会很大。为了解决此矛盾,将递推最小二乘法应用于组和测角中,即以任意两个序列的数据计算出的误差向量为初值,然后每增加一个量测序列,计算一次新的结构矩阵φ(k)和信息矩阵的逆P(N+1),然后计算新的误差向量x(N+1)。其中k为量测序列数, N为迭代次数(N=0,1,2,…)。