在非均匀荷载作用下半圆环变截面小曲率曲杆的位移分析

    工程结构位移分析的目的是: ①对构件进行刚度校核; ②为超静定分析打基础; ③ 为生产提供位移数据。材料力学 指 出，构 件 在 荷 载 作 用 下，其 形 状 将 发 生 改变，结构上各点的位置会发生相应的移动，杆件的截面除移动外还会有转动，截面的移动和转动即称为位移。

    本文提出( 图—1) 一个变截面为圆形的半圆环小曲率曲杆，A 端小径为 d₁，B 端大径为 d₂。沿曲杆轴线设垂直于轴线，曲面非均布线荷载 qα，设 A 端 q₁= 0 ，B 端为 q₂，试用虚功原理方法( 单位力) ，求出曲杆自由端 A点的铅垂位移。

    1 ． 虚功方程与内力函数

    由虚功原理 W外= W内，在图—1 ( a) 所示非均匀荷载作用情况下，曲杆的横截面上有弯矩 M，剪力 FS，扭矩 T。于是为在变截面曲杆自由端 A 点求铅垂位移时，应在 A 点施加铅垂方向的单位力，见图—1 ( b) 。按变形体的虚功原理，其中，W_外为外力做的功，由于支座无移动，支座反力不做功，外力功只有虚设力 P = 1 在位移 Δ 上做功，其值为: W外= 1 · Δ 。 对变形体 ，外力虚功不再等于零，因为变形内力要作虚功。经证明，变形体处于平衡状态的必要与充分条件是，外力在对应的位移上所作的外力虚功总和等于各微段上的内力在其对应的变形上所作的内力虚功总和，即

在曲杆中取微段 ds = Rφ，且右端的积分均对弧长进行。在曲杆中

    2 ． 位移函数及其求解

    将内力分量函数带入虚功方程，铅垂位移虚功表达式为:

    3 ． 结语

    上述计算方法中，综合考虑弯矩、剪力、扭矩内力影响，其理论分析比较精确。但变截面影响线弹性叠加，实验表明，其计算结果略微偏大，虽然如此，上述计算结果仍能够满足工程要求。另外，应当注意，对大梯度杆件来说，其理论分析结果还需通过反复实验来验证，因为材料力学胡克定律是建立在等截面直轴线杆件上的。

    参考文献:

    ［1］李廉锟． 结构力学［M］． 北京: 高等教育出版社，2004．

    ［2］ 孙训方． 材料力学［M］． 北京: 高等教育出版社，2001．

    ［3］ 苏德利． 杆件在复杂内力作用下的强度分析［J］． 沈阳师范大学学报，2010，( 4) ．

    ［4］ 刘文顺． 弹性介质上变截面压杆的稳定分析［J］． 焦作大学学报，2007，( 1) ．