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多重网格方法求解结构动态响应中的几种不同循环算法的比较

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  结构动力问题在数值分析中是一个重要领域,同时由于它比结构静力问题更耗费时间,在国际上引起了人们的广泛关注。结构动响应分析具有重要的理论价值和广阔的应用前景,由于动响应问题除了有空间离散误差外,还有时间离散误差,因此研究起来要困难复杂得多。目前,在结构动响应计算的数值方法方面,已经发展了多种分析或求解振动系统时间历程响应的方法。主要有以下5类常用的数值计算方法:¹振型叠加法[1]。

  该方法仅适用于线性定常系统,且要求阻尼为比例阻尼或无阻尼,激振力为常数或仅是时间的函数;º状态空间法[2]。该法对线性定常系统能够有效求解。除特殊情况外,对非线性或时变系统不能有效求解。该法的稳定性还有待进一步研究;»复模态法[3]。该方法适用于线性定常系统,激振力为常数或仅是时间的函数;¼直接积分法[1]。它根据情况不同,有多种具体的积分格式,常用的有常加速度法、平均加速度法、线性加速度法、Newmark法、Wilson-H法等。近年来有不少学者在研究和提出新方法或改进型方法以提高计算精度和计算效率。如著名的精细时程积分方法和辛算法等;½一阶常微分方程组初值问题的数值解法[4]。一阶常微分方程组初值问题的数值解法可以处理时变、非线性系统。但对多自由度系统来说,要选取一个保证算法稳定的步长比较困难。

  在诸多的算法中,多重网格法是非常有效的方法之一。多重网格方法的思想早在20世纪30年代就有人提出,但真正广泛应用于工程技术问题还是在1977年Brandt教授[5]发表他的开创性文章/边值问题多重网格适应解0之后才开始的。如今,多重网格法已被广泛应用于各门学科和各种工程技术问题中,如计算流体力学中的流体动力润滑问题的研究[6]、复杂黏性流场的计算[7]及大型岩土工程问题的计算[8-10]等。

  本文主要研究几何多重网格方法,在求解板的动力响应题时,本文得出的多重网格N循环的迭代次数略久于常用的V循环、W循环。

  1 多重网格法的原理和实现方案

  1.1 多重网格法的基本思想[11]

  在求解过程中,用一系列逐步加密或减疏的网格去离散求解区域,在不同疏密的网格层上用迭代法求解,以平滑不同频率的误差分量,然后通过网格层间的适当联系,将在所有重网格上消除误差分量的效果综合起来,可以有效地减弱所有尺度范围内(从整个定义域到最小的迭代步长)的误差分量,这就是多重网格法的基本思想。对多重网格方法优点的一种最直观的理解是:为了在第k层中得到方程的解,可以先将方程离散在第k-1层中进行松弛迭代,然后插值回到第k层中作为方程在k层中的近似解。由于在k-1层中的迭代格点数要比第k层中少得多,从而节省了计算时间。同理k-1层中的近似解可来自于k-2层,依次类推,直到k=1层。

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