粘弹介质中圆孔时变轴对称问题的解析分析

　　地下工程设计施工中经常遇到无限介质中孔口开挖问题.开挖介质是岩石,它是一种天然介质,受长期地质作用的影响,某些岩体的强度低,且具有异常显著的流变性.另外,孔口施工从无到有,不是一蹴而就,具有阶段性和连续性.前段施工造成的变形还未稳定,又有后续施工造成新的开挖边界与变形.因此,施工中的力学分析应当考虑岩体流变时效与连续施工的共同作用.从力学角度看,这是一个边界条件随时间变化同时本构也与时间相关的问题,属于时变力学中的几何、物理时变耦合问题.

　　目前,一般采用数值方法计算施工过程的应力与位移:将连续的施工分步离散,每一步对应的一部分岩体仍认为是一次开挖完成,采用不连续的工况分析模拟施工过程.这其实是基于Mana[1]提出的用于基坑开挖的有限元方法.后来, Brown和Booker[2],Borja等[3]以及Richard等[4-5]完善该法并应用于各种开挖过程.至今,大型地下工程考虑施工过程数值模拟仍然基于Mana法.时变力学是研究对象的几何、物理、质量、边界等参数随时间变化的力学学科分支.时变力学解析理论研究中,Rashba[6]给出了一楔形体由重力引起的内部应力的求解方法,属于几何形状增长的时变研究.Brown和Goodman[7]对逐层增长的时变问题进行研究,指出固定边界通用的协调方程在增长时变中不再满足.随后,时变力学很多工作都针对土木施工展开.Brown[8]给出了连续填土作用下涵洞应力应变状态的求解过程及刚性斜面上连续积雪应力应变状态[9].Arutyunyan[10-11]就增长体有蠕变情况下的边值问题提出自己的看法,并建立了一般的求解方程.Bykovsev[12]在此基础上进一步完善这个方法,并将其用于求解有相变的固化问题.Arutyunyan和Metlov[13]以及Potapov[14]等进一步研究了一维粘弹性体增长过程的解析解,几个特殊解析问题的求解反映在综述文献[15]中.Shamina[16]针对轴对称问题分析了时变方程的简化.Georgiyevskii[17]分析了时变协调方程的独立性问题.

　　笔者从解析角度研究无限粘弹介质中孔口半径时变时的应力和位移,其结果可应用于地下孔口开挖中.粘弹性问题和弹性分析不同,本构关系不是代数方程组,它们通常是以算子形式出现的,而且形式多种多样.若再考虑时变的边界条件,则获得某问题的解析解相当困难.对固定边界粘弹问题,已有众多研究成果,其解析求解方法可采用积分变换法、对应原理法、分离变量法、复模量转换法等.对时变问题,文献[18]给出时变固体力学粘弹性问题的一般解法;文献[19]推导自重作用下矩形平面向上增长粘弹性时变力学解.当岩体模拟为Maxwell模型并且体积不可压缩时,文献[20]由直接解方程法得到了圆洞扩展时的解析解.文献[21]则给出了H-Kelvin模型的解.