随机荷载下三角形板单元局部效应修正

    1引言

    目前对板单元的动力分析,一般采用有限元法,即将原结构离散为有限个多自由度体系,求解动力方程,算出动力响应。然而,这种传统的动力分析方法忽略了局部效应的影响,带有较大的误差。

    所谓局部效应,是由于结构连续质量之间的相互影响产生的,早在80年代由美国学者S.A.Anagnostopoulos[2]等人首先提出,但是其方法有很大的局限性:一是采用振型迭加法的计算过程繁琐且精度不易控制,并且依赖于杆端位移、转角均被正确算出的前提;二是该方法只适用于杆系结构,而对其它诸如板壳结构,板杆组合结构则无能为力。

    本文在文献[1,2]的基础上提出了计算结构局部效应的新方法,利用S.A.Anagnostopoulos的模型,进一步利用有限元方法使两端固定的杆单元基频远远大于原结构的基频(一般大于5倍即可),然后应用直接积分法求出局部位移及局部动内力,进而得到局部动内力与惯性力之间的关系,即局部振动内力列向量F*等于单元协调质量阵[M]与单元节点位移,转角加速度列向量δ¨*的乘积。未考虑局部效应的结构进行动内力计算时,都有其求解动力响应的一般有限元方法,因此在一般有限元方法的基础上迭加上局部动内力效应影响项,即得到较为精确的动力响应。

     2三角形板单元的有限元法

    图1为一受横向f [x,y,t]作用的悬臂板,将其离散成为三角形单元,并取其中一个三角形单元进行分析,如图1所示:

    设δe和Fe分别为单元的节点位移和节点力列向量:

式中b₂,b₃,c₂和c₃为坐标差,L₁,L₂,L₃为三角形的面积坐标。

    节点2和3的形函数,用下标轮换的方法同样可得,从而板单元内部点的横向位移可用节点位移表示为

    3三角形板单元局部动内力的计算

    板元的强迫振动方程为:

    按照有限元法进行动力分析时,动荷载最终都是当量地作用在节点上,即板单元上是没有分布外载的,因而三角形板单元内任一点的动力平衡方程为:

式中:W*(x,y,t)是局部位移效应; [N]为板元形函数矩阵; [δ]为板元节点位移列向量。

    将(11)式代入(10)式,并注意到对于给定的位移模式W有

    上式反映了局部效应位移W(x,y,t)＊与惯性力和阻尼力之间的内在关系。按照有限元法的基本思想,可以求得单元局部动内力列向量Re′为