轴对称旋转体动频的半解析有限棱柱元分析

    0　引　言

    工程上广泛应用着高速旋转的轴对称物体,如圆环锯片、齿轮等,当其所受载荷沿周向旋转时,其振动是沿周向传播的波动振动[1]。这时用常规的有限元法已不便求解。根据波动振动的特点,本文提出了一种有效的方法———半解析环形有限棱柱单元法,并利用这种方法求解了考虑旋转离心力时轴对称物体的振动频率(即动频)问题。

    1　半解析环形有限棱柱单元法[2]

    将轴对称结构体划分为许多同心环形棱柱单元,为了提高计算精度,每个单元的截面都是八结点等参元截面,如图1所示。根据结构的轴对称的特点,可将其位移函数构造成环向为解析的三角级数而径向和轴向为离散的插值函数[3]:

式中:ukm、vkm、wkm为单元各结点的轴向、环向和径向位移;m为节径数;θ为环向转角;Nk为各结点的形函数,其形式与平面八节点等参元的形函数相同。

    当不考虑离心力影响时,由最小势能原理就可以得到单元刚度阵和质量阵的子块:

　　利用三角函数的正交性,单元刚度阵和质量阵的各个子块中,只有位于对角线上(即m1≠m2)的子块不为零。应用有限元的集合规则形成整体的刚度阵[K]和质量阵[M],从而获得频率方程:

    [M]{¨δ}+[K]{δ} = {0}     (3)

式中:{δ}是节点位移列阵。由式(3)就可得轴对称体的固有频率(即静频),其求解及结果见文献[3]。

    2　轴对称旋转体的动频

    为了计算结构的总势能Ve,由角速度引起的离心力可用结构中的初应力来代替,则:Ve= Ue+ Uce,其中Ue为非旋转结构的应变能;Uce为由角速度引起的初应力而得到的应变能。由拉格郎日方程可得:

{Q}是作用在单元节点上的广义力;[M]和[K]是非旋转结构的质量矩阵和刚度矩阵,可由式(2)求得;[MG]是“回转矩阵”,它是一个斜对称矩阵并与角速度有关,在运动期间耗散的能量为零,在所有的计算例子中,都略去了这个回转矩阵的影响;[Mc]与[Kc]是离心质量矩阵和离心刚度矩阵;{Qc}是一个常向量,这些力仅使结构产生初应变,而不影响系统的固有频率。单元的离心刚度矩阵子块为[4]:

σ_r、σ_θ、σ_z、τ_rθ和τ_θz是由于旋转离心力引起的径向、环向、轴向及剪切应力,可由弹性力学求得。由于矩阵[Gi]m₁和[Gj]m₂的元素中含有三角函数,由三角函数的正交性可知:

    当m₁≠m₂时　[K^cij]m₁m₂= [0]

    当m₁= m₂时,其值不为零,即单元离心刚度矩阵[Kc]的各个子块中,只有位于对角线上的子块不为零。也就是说,单元的离心刚度阵与不计离心力影响时的单元刚度阵一样,在非对角线的位置上,其子块元素均为零,只有处于对角位置的子块元素不为零。