坞室底板的一种数值解法

　　为提高计算效率,对坞式底板计算采用数值解法,从基础梁的基本方程出发,用幂级数的形式表示地基反力的分布,利用边界条件及接触条件求得未知系数,进而求得梁的内力,并根据上述导得的方程编制成程序。

　　1　弹性地基梁数值解法基本原理

　　地基梁的计算图式如图1示。

　　梁的弹性线的四阶微分方程为

　　p(x)为梁的地基反力,可采用含有四个系数的三次代数式表示

　　式中:L─梁的长度;

　　a0、a1、a2、a3─未知系数,其数值大小与梁的刚度、长度、弹性地基的变形模量,荷载特性及分布有关;

　　ψ(x)─给定的作用荷载。

　　将方程(1)进行四次积分,可得到:

　　式中: lHi─梁左端到分布荷载的起点距离;

　　lki─梁左端到分布荷载的终点距离;

　　lzi─梁左端到力矩Mi的距离;

　　l3i─梁左端到集中力Pi作用点的距离。

　　式(3)是梁弹性线的一般方程式解,其中包括8个未知量,4个系数a0、a1、a2、a3和4个任意积分常数D0, D1, D2, D3。求解方程(3)需8个补充条件:

　　(1)竖向力的平衡;　(2)对梁左端的弯矩平衡;　(3)yx=0”=0 ;　(4)yx=L”=0 ;　(5)梁的左端变位和地基土的变位相等;　(6)梁的中央梁与地基变形曲线纵坐标相等;　(7)两变形曲线纵坐标构成的面积相等;　(8)梁中央两弯曲变形函数的三阶微分相等。

　　根据以上条件,可求得

　　式中:

　　h─梁高;

　　E0、E─分别为地基变形模量及梁的弹性模量;

　　μ0、μ─分别为地基及梁的泊松比。

　　当沿整个梁长作用有均布荷载时,其系数可简化为:

　　以上公式中出现的Γa,Γba为截断泛函,其取值为:

　　单向截断泛函:

　　根据式(11~23),本文编制了在均布荷载、集中力、力矩作用下梁内弯矩、剪力及地基反力计算程序,通过例题验算,其计算结果与参考文献〔1〕相同,证明所编程序是正确的。

　　2　计算成果

　　根据以上编制程序,对计算图2所示的弹性地基梁进行计算。

　　梁的参数:L=12m,梁高H=2m,集中力P=400kN,q=50kN/㎡,M=2000kN·m, E=2.1×107kN/㎡,E0=5.0×104kN/㎡,V0=0.35,V=0.167。计算结果与郭氏法进行比较,具体值见表1所示。

　　由表1可见,两种计算结果较接近,数值法计算的底板正弯矩较郭氏法略小,其原因是由于郭氏法所取的反力级数多项式为11项,而数值法为4项,因此数值法反映两端反力集中的性能较弱,其弯矩值略小是合理的。