层合扁壳弹塑性弯曲的加权残值法

　　1　前言

　　加权残值法在对固体力学材料非线性问题的分析中已取得了一定的进展[1～4]。如文献[1～3]取双五次样条函数为位移试函数,用加权残值法分别计算了各向同性和正交各向异性板壳结构的弹塑性弯曲问题;文献[4]用初应力最小二乘法求解了有限长厚壁圆筒的弹塑性问题,均取得了满意的结果,并证明了在一定条件下,加权残值法比有限元法公式简单、计算精度高、收敛快、方便和实用。但是,由于问题的复杂性造成的困难,目前这方面的研究进展很慢,成果很少。特别是象复合材料层合板壳这种复杂的结构,由于各层纤维不同的铺设方向所造成的各向异性和呈层性,使得结构的拉弯剪刚度相互耦合,问题变得相当复杂和困难。因此,目前还未见到加权残值法在这方面的应用成果。

　　对于跨厚比较大的扁薄壳体,剪切变形的影响较小,因此仍可采用Kirchhoff假设。文中取双五次样条函数为位移试函数,对材料非线性问题的描述采用弹塑性增量理论和由Hill推广的Huber-Mises屈服准则。所得公式为一常系数线性代数方程组,每次迭代仅需对荷载进行修正,从而使问题大大简化。

　　2　控制方程

　　2.1　弹塑性本构关系

　　如图1所示双曲扁壳,设第k层的纤维铺设方向与x轴之间有夹角θ,则第k层任一点的应力—应变增量关系可表示为:

式中,{Δσ}K和{ΔE}K分别为第k层任一点的应力增量和应变增量;[T1]K为第k层的应变转换矩阵;B为弹塑性修正因子[1];[De]K和[Dp]K[5]分别为第k层的弹性矩阵和塑性矩阵,且有

式中,fK为第k层的屈服函数。对于正交各向异性材料,Huber-Mises屈服函数可表示为

式中,[T2]为第k层的应力转换矩阵,[A]K为由各向异性参数组成的矩阵[5]。

　　2.2　平衡方程

　　层合壳体平衡方程的增量形式可表示为

式中,

　　其中,[A]、[B]和[D]分别称为层合壳体的拉伸刚度、拉弯耦合刚度和弯曲刚度矩阵[8],{ ΔN^p}和{ΔMp}为由{Δσ^p}引起的内力修正项。

　　2.3　控制方程

　　将(11)～(13)式代入(8)式,并用中面位移表示,即可得到控制方程,其无量纲形式记为:

　　其中无量纲变换关系为

　　3　迭代公式

　　3.1　位移试函数

　　取双五次样条函数为位移试函数

　　[·]中为由五次样条函数组成的基函数,{d}为待定系数。对于给定的边界条件,可以构造出满足位移边界条件的基函数[1]。

　　3.2　迭代公式

　　将(15)式代入控制方程和边界条件,并取样条结点为配点,即可得到各配点上的残值,总记为