非线性粘弹性梁弯曲问题的新算法

    0　引言

    塑料、橡胶、纤维、油漆、树脂、玻璃、陶瓷和混凝土等许多新型材料在各种复杂环境下的广泛使用,促进了粘弹性力学的形成和发展[1,2].对于非线性粘弹性梁的弯曲问题,一般只能求助于各种直接方法,通常在时域上采用差分法,将非线性粘弹性问题转化为在每一瞬时求解一个相应的非线性弹性问题,但由于粘弹性材料的记忆效应,采用这种方法不可避免地要遇到为了存储以往全部历史的信息而占用大量内存的困难.单积分型非线性粘弹性本构关系由于其模型简单、计算方便,同时又能较好地描述粘弹性的非线性行为,近来已受越来越多学者的关注.本文将采用Leaderman本构关系[3],首先给出了位移形式的准静态非线性粘弹性梁的数学描述,然后借助于Laplace变换证明了准静态非线性粘弹性问题的解与静态非线性弹性问题的解存在某些对应关系.利用这些对应关系可直接从相应静态非线性弹性问题的解获得准静态非线性粘弹性问题解的信息,而不必在时域上差分原问题,从而节省了大量的计算时间,这为非线性粘弹性问题的求解提供了一种新的思路.

    1　数学模型

    对于均匀各向同性非线性粘弹性材料,松弛型的Leaderman的本构理论为[3]

    σ=E(t) g(ε),           (1)

这里E(t)是材料的松弛函数;σ和ε分别表示梁的弯曲正应力和正应变;函数g(ε) =ε+βε2+γε3,其中β,γ为常数;符号 为Boltzmann算子,定义为

现考察跨度为l、厚度为h、宽度为b小挠度梁,其几何方程为

    这样,在最一般的情况下,非线性粘弹性梁的弯曲问题归结为在给定边界条件(9b)下求控制方程(9a)的挠度W.显然,精确求解这类边值问题是非常困难的,因为由(9)式可见,其控制方程和边界条件均为积分—偏微分算子型的.下面将探讨准静态非线性粘弹性问题与相应静态非线性弹性问题之间的对应关系,从而为粘弹性问题的求解提供一种新的途径.

    2　对应关系

    定理　准静态非线性粘弹性梁的弯曲问题(9)的解等价于如下静态非线性弹性梁的弯曲问题(10)的解

其中:为材料的蠕变函数.事实上,对(9a)式作Laplace变换可得

对(12)式利用Laplace逆变换和材料函数之间的关系J(t)=[s2E(s)]-1便可得到(10)式中的第1式,利用同样的方法,可得(10)式中的第2式和第3式.

    定理表明,当分布载荷为零,且力的边界条件为自由边界条件时,粘弹性问题的解与弹性问题的解之间也有重要的关系,即位移相同,即非线性粘弹性问题的位移响应仅与边界位移的现时值有关,而与边界位移的历史无关.此时粘弹性问题的位移分布与材料的松弛函数无关.