四边支承矩形板振形曲线及其正交性

    1　主振方向及相应的振形函数表达式

    板横向自由振动的微分方程为

式中:W为自平衡位置算起的振形函数;ω为板自由振动的圆频率;-m为板单位面积的质量;D为板的弯曲刚度.振形函数W要体现板双向振动的特点,传统解法认为,W的一般形式为

式中:分别表示x方向与y方向的振动主波形.式(3)表示在两个振动方向上同时拥有无数的振动主波形.当引入边界条件后,这样的振形曲线由于不具有振形正交性的性质,因而是错误的.如果振形曲线取下列形式

该式表示在两个振动方向上分别仅有一个振动主波形,除图1(a)所示四边简支矩形板,图1(b),(c)所示一对边简支的矩形板外,式(4)无法满足全部边界条件,因而也是不可取的.文献[1]提出主振方向排序法的思路以建立矩形板的振形函数表达式,这种振形函数表达式既可以满足全部边界条件,又具有振形的正交性.

    在两个振动方向上任选一个振动主方向,主振方向的振动波形是唯一的,但为了保证振形曲线满足全部边界条件,在另一振动方向上振动波形不是唯一的.

    对图1所示四边支承(简支或固定)的矩形板,当采用以x方向为主振方向排序时,对应x方向第m个主振波形(即),振形函数表达式为

    式(5)中包含有8个待定系数,由板的8个边界条件及级数的正交性可建立以Am,Bm, Cm,Dm,En,Fn,Gn,Hn为未知量的8个线性方程,通过变换可得仅包含Am,Bm,Cm,Dm为未知量的4个齐次线性方程.为保证主振形具有非零解,Am,Bm,Cm,Dm不能全为零,由此可建立频率方程,并解出x方向第m个主振形对应的各阶自振频率及相应的振形曲线,分别取m=1,2,3,…即得以x方向为主振方向排序的所有振形.

　　当采用以y方向为主振方向排序时,对应y方向第n个主振形,振形函数表达式为

    2　振形曲线的正交性

　　现以x方向为主振方向排序为例,将式(5)简写为

　　现分别考虑第i振形及第j振形,对应的主振波形分别为和mj可能相等,也可能不相等,相应的振形常数分别为γi和γj.有

    用式(12)减式(13),并考虑由x=0,x=a,y=0,y=b时W=0的边界条件及三角函数性质可得到下列关系式.

　　当x=0和x=a时,有

    式(22)减式(23),等式左端为R1的表达式,等式右端为零值,说明若x=0或x=a为固定边时,均有R1=0,即不论x=0和x=a为简支边还是固定边,1一定为零.

    用式(26)减式(27),等式左端即为R3的表达式,它等于零,说明y=0或y=b为固定边时,相应的R3为零值,即不论y=0和y=b是简支边还是固定边,均有R3=0.