幂硬化材料浅切口根部附近的应力分布

　　在工程断裂力学领域,对于一个含切口的受力构件来说,若能知道切口根部附近应力场的理论表达式,则不仅能够知道切口根部应力集中的程度,而且还能知道其附近区域应力分布的特征,从而对构件的合理设计,预防断裂事故的发生起指导作用。然而,迄今为止,人们为了获知硬化材料切口根部附近的应力常常须采用有限元法。为了能像完全弹性材料及理想塑性材料那样,用理论表达式反映硬化材料切口根部附近的应力场,本文以含浅切口的幂硬化材料为研究对象,试图在平面应变条件下,利用塑性理论中的滑移线场方法及全量理论,推导切口根部附近的应力场表达式。

　　1　幂硬化材料浅切口根部附近的应力分布

　　假设有一含浅切口的受力试件,其切口形状如图1所示,切口根部可看作一半径为Q的圆弧,切口深度c小于试件沿x方向的尺寸。在单向拉力Ra的作用下,当材料处于弹性状态时,切口根部的最大弹性拉应力为[1]

而在切口根部附近的弹性拉应力近似为[1]

　　随着单向拉应力Ra的增大,切口根部及其附近区域将进入塑性状态,为了确定此时切口附近的应力分布,我们以幂硬化材料为研究对象,假设其本构方程为

　　此处,R为等效应力,E为等效应变,Rs为屈服应力,E为Young′s模量,K,n分别为硬化系数及硬化指数。

　　根据塑性理论中的滑移线场方法[2],人们已经确定了平面应变条件下切口根部附近的应变分布为[3]

式(4)中,Er,EH,Ez分别为切口根部附近r处沿r,H,z方向的应变,Em为切口根部的最大等效应变。

　　由式(4)可知

即材料在变形的一切阶段,Lode系数LE均为零。换句话说,材料中的单元体经受简单加载,在小变形条件下,可以应用塑性理论中的全量理论,材料的应力-应变关系为[2]

　　现在,将式(5)中的前两式相减,并考虑到式(3),(4)有

　　最后,再将式(7),(8)代入式(5)中的第3式,并考虑到Ez= 0可得

　　式(7～9)就是幂硬化材料在平面应变条件下浅切口附近沿r,H,z方向应力分布的理论表达式。可以看出,对于确定的材料及切口形状,应力分布完全取决于切口根部的最大等效应变Em。

　　当n=1,K=E,即对于完全弹性材料,式(7～9)分别成为

　　由于式(10)及式(1)都是对弹性材料而言,因此,θ=0时,Ry应等于RH,若进一步考虑到r=ρ时,

则可以分别计算出σy′,σθ′随r/ρ的变化情况如表1所示。表1中的数据表明,当r/ρ<1.5时,σy′～σθ′,这从一个侧面证明了表达式(10),亦即进一步证明了式(7～9)的正确性。

　　另外,当n= 0,K=σs时,即对于理想塑性材料,式(7)成为