随机时变结构动力可靠度分析的Markov模型

　　考虑结构可靠度的随机时变性,H.Kameda等人曾研究了荷载与抗力的衰减问题,Bolotin提出了计算时变可靠度的表达式. Melchers, Madan等人研究了结构部分抗力作为随机过程的模型,J.T.P. Yao等人在随机疲劳、裂纹、失效分析中,研究了经典、随机和模糊随机等模型[1～3]。本文基于Marcov随机模型讨论建立了结构随机时变可靠度的分析方法。

　　1　随机时变结构的自由振动方程

　　考虑结构体系的时变性,结构体系的振动方程可表示为:

（1）

式中,[M(t)],[C(t)],[K(t)]分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵,{F(t)}和{X(t)}分别为结构的荷载与效应。如果结构体系中的时变参数随时间改变较为明显时,式(1)称为强时变振动方程,而当其时变性不显著时,称为弱时变振动方程。考虑线性随机时变结构的固有振动问题,由于多自由度体系的结论一般都可平行推广到无限自由度体系,设结构已按某种方式离散化了,因此只考虑有N个自由度的离散系统。设{q}为广义坐标列阵,[K(t)]和[M(t)]分别为与{q}相应的随机时变刚度矩阵和随机时变质量矩阵,结构的固有振动方程可表为:

　　考虑结构参数具有弱时变性,随机时变结构的自由振动方程可表为:

式中,Md(t)和Kd(t)分别为[M(t)]与[K(t)]的均值,Mr(t)和Kr(t)分别为[M(t)]与[K(t)]的偏差。一般结构的设计基准期是50年,而在特殊动力荷载(如强风或地震等)作用下,结构振动的持续时间相对于结构的设计基准期而言是很短的。在这段时间内由于结构参数随时间变化是微小的,对结构振动的影响甚微,故可将此时的结构参数视为与此段时间有关的常数,从而可应用确定性方法求解方程(3)。

　　2　随机时变结构动力反应分析

　　考虑如下定义的随机时变结构动力反应模型。即

　　我们主要研究式(4)及式(5)所描述的结构体系的动力反应。当考虑结构参数[A(t)]仅为时间的函数时,首先可求出与式(4)相应的线性齐次方程的解为

式中Φ(t,t0)为时变转移矩阵。可以证明,当A(t)在T上连续,F(t)∈L²_n在T上均方连续,X0∈L²_n,则方程(4)有唯一的均方解:

　　利用均方解式(6),我们可以求得时变结构在随机荷载作用下,系统响应X(t)的数字特征。

　　3　基于Markov随机过程的可靠性分析方法

　　对于单自由度时变结构而言,X的密度函数f(Y,tûY0,t0)应满足的FPK方程为

　　对式(7)作二维Fourier变换,可得特征函数φ(L,t)为

式中,ψ为任意的待定函数,cj为任意常数。代入初始条件,并利用Laplace变换可得