轴向应力波作用下细长杆弹塑性动力屈曲

　　0引　言

　　冲击力作用下结构的稳定性问题在工业、建筑及军事等领域倍受关注.研究细长杆这一简单结构的动力屈曲有助于揭示其他构件及结构的失稳机理.早期的工作大都致力于静力屈曲和动力弹性屈曲方面的研究.有些工作讨论了动力弹塑性屈曲问题,提出了解决该问题的方法[1]和屈曲判断标准[2、3],并讨论了应力波等对屈曲的影响[4、5].实际上,研究无初始缺陷杆更能揭示动态屈曲的机理.而动态屈曲应与应力波相联系且具有局部特点.与弹性杆的屈曲不同的是,弹塑性屈曲时其横截面部分区域会出现卸载情况.本文研究了卸载的影响,得到了屈曲临界力及屈曲模态,给出了弹塑性细长杆在轴向冲击下屈曲的一些规律.

　　1弹塑性屈曲方程

　　杆件的屈曲问题就是研究初始状态

的稳定性问题.也就是判断是否存在非零的扰动的问题.假设该扰动存在,则应满足扰动方程:

式中:N₀为初始轴力;分别为扰动引起的轴力、剪力和弯矩,其定义为

A表示梁横截面积.

　　当初始应力小于屈服极限时,杆处于弹性状态.此时有

式中:Ic为横截面对形心轴的二次矩.

　　当初始应力大于屈服极限时,杆处于塑性状态.此时,中性轴将不通过形心.以下针对线性强化材料杆,确定中性轴位置和弯矩的位移表示.假设中性轴y距梁横截面底边的距离为z0,如图1(a)所示.截面上任意点位移可表示为

中性轴的两侧将分别产生正的和负的扰动正应力,从而使两侧分别处于卸载和加载状态.文中用Ae和Ap分别表示卸载和加载区面积,A=Ae+Ap.假设梁下侧卸载,上侧加载,则应力可表示为

式中:k为强化模量和弹性模量的比值(k=Ep/E).

　　由截面上正应力的合力为零的条件可得

　　由此可确定中性轴的位置z0.由式(3)知

式中:Dp为塑性抗弯刚度.需要说明的是,杆下侧卸载、上侧加载时的中性轴位置和上侧卸载、下侧加载时的中性轴位置是不同的.一般情况下两种加载方式计算出的塑性抗弯刚度也是不同的.这样,弯曲方向沿轴线方向的变化将导致抗弯刚度的变化.因此,式(2)将导向很难求解的变系数微分方程.但是,当梁截面是上下对称时,可以证明,下侧卸载时中性轴距最下侧的距离z0和上侧卸载时中性轴距最上侧的距离z′0是相等的.该结论的正确性可通过坐标轴的平移和旋转(如图1(b)所示),经类似上面的推导验证.此时,两种情况下的抗弯刚度是相同的.这样,式(2)将变为便于求解的常系数微分方程.本文考虑截面是对称的情况,因此,两种情况下的抗弯刚度将不加区分.