梁中复合应力波的传播

　　悬臂梁在冲击载荷作用下的动力响应，早在50年代就开始研究了^[l.2]，由于这些研究多集中龄忽略剪切变形和横向转动惯性效应的Bernoulli梁上，因此不涉及梁中复合应力波的传播。事实上，结构的动力响应大致可分成两类既相互有别又紧密联系的问题，即应力波问题和整体响应问题闭，要完整地了解梁的冲击响应特性，研究梁中复合应力波的传播及其演化是不可忽视的重要方面。准确地描述梁的运动状况，必须从梁的Timo-shenko方程出发。可是由于求解双曲型方程比较困难，目前我们只能对一些特殊情况(如弹粘塑性体)求得特征线解^[4.5]本文从有限差分法出发，求解粘塑性悬臂梁和弹塑性悬臂梁当一端受冲击载荷作用时，梁中复合应力波传播的基本图象和特性，为今后开展结构中的波动效应研究积累经验。

　　1基本方程及其离散

　　当用广义应力M和Q表示时，考虑剪切变形和横向转动效应的Timoshenko。梁的动力学方程可统一地写成

　　式中:W={ω，v，M，Q，}T，ω=?α/?t表示梁截面的转动角速度(见图1)，v=?ω/?t表示z方向速度(ω为挠度)，系数矩阵A和B分别为：

　　其中:I(x)表示梁的截面矩，，，对于变截面梁，它是x的函数。A(x)是矩形梁的横截面面积，As(x)是等效截面积，矢量b表示

　　其中:f1(M，Q)，f2(M，Q)是由本构关系确定的广义应力的函数。对于幕函数型的弹粘塑性体，本构关系可写成

　　式中:C₁，C₂，n为材料常数，δ₀和r₀分别表示简单拉伸和纯剪切条件下的屈服应力。(4)式不难化为广义应力M，Q的表达式

　　式中:

　　方程(l)属典型的双曲型方程，其特征方程为

　　对于弹粘塑性体，由上式可以导得两个特征波速

　　a_l，a₂代表了弹性纵波和横波波速，在梁中复合应力波问题里它们分别被称为弯曲波和剪切波。由于它们是常数，因此，弹粘塑性梁的波动图象相对要简单些，可以用特征线方法进行数值求解阔。但是对于弹塑性梁说来，塑性状态下的特征波速将表现为与应力状态有关的塑性快慢波[6]，其波动特性要比粘塑性梁复杂得多，此时用特征线法进行数值求解会有一定的难度，为此我们采用有限差分方法，直接对方程(l)的分量形式采用具有二阶精度的交叉中心差分格式进行离散，其离散化方程为

　　这里，v,ω。定义在空间和时间的半格点上，M、Q则定义在整格点上，(8)式中的后两爆炸与冲击第17卷由于出现衅M_j^n+1/2和Q_j^n+1/2，需要通过迭代法求解。计算实践表明迭代过程收敛很快，通只要l~2次即达到精度要求。