剪切效应及其计算方法

　　一、前言

　　有限单元法是对机械结构进行强度、刚度分析的有效方法,在许多领域都得到了广泛的应用,SAPS程序的推广使用,又为广大工程技术人员提供了有效的分析计算工具。在实际工程计算中,梁单元是经常使用的一种单元。在使用梁单元进行分析计算时应该注意到,当梁截面的高度(H)大于梁长度(L)的五分之一时,(即SH)L),剪切应变的影响必须加以考虑,尤其是在薄壁截面的情形,剪切对浇度的影响将是巨大的。这种影响就是通常所说的剪切效应。只有当H远小于L时,才可忽略剪切效应,否则计算误差将会很大。

　　根据结构强度理论,若要考虑剪切效应,就应对梁单元刚度矩阵作必要的修正。在使用SAPS程序进行分析计算时,则要求输入有效抗剪面积A:。有效抗剪面积一般可以通过原截面面积与剪切影响系数求得。一般文献及教科书中(包括SAPS使用手册)只给出了某些特定形状截面的剪切影响系数。对于稍为复杂一些的截面,许多SAPS用户难以获得剪切影响系数,以致在实际分析计算中无法考虑剪切效应,深感不便。为此,本文利用等效应变能的方法,给出了一个有效的、适用于任意截面形状的有效抗剪面积近似计算公式。

　　二、计算方法

　　对于剪切影响系数的计算,比较精确和有效的计算公式是CowPe:计算公式。G.RCowper〔2〕在总结归纳了一些作者关于剪切影响系数的定义和计算方法的基础上,从三维弹性理论的单元体方程出发,导出了T卜moshenk。梁方程表达式,经过某些假设和简化,最后给出了一个计算剪切影响系数K的一般公式:

式中，Iz, Iy分别是横截面对形心主轴Z,Y的惯性矩，A是横截面面积;γ是泊松比，Φ是一个调和函数，它在横截面的边界上满足边界条件:

其中，nz、 ny，是横截面边界上的单位外法线分量。

　　文献(2)中给出了一些简单形状截面的Φ表达式，从而得到了相应的计算K值的近似公式。对于一些复杂截面形状,如仍使用上式计算K值就显得比较困难,主要原因是小函数难以确定。

　　我们知道,在SAPS程序中,若要考虑剪切效应,要求输入的有效抗剪面积As,通常可由下式确定

式中,A为原截面面积,K值的选取一般是依据文献(2)中给出的数值。

　　现考虑如图1所示的任意截面梁。假定变形后的梁截面仍保持为平面。当存在剪切应变时,微元dX·A所具有的剪切应变能为:

式中Q=Q(X)是x处截面上的剪力;

　　S=S(z)是距截面中性轴为Z处的横线;

　　以上部分面积对中性轴的静矩;

　　b=b(z)是距中性轴:处的横截面宽度;

　　A为截面面积;I,为横截面对中性轴y的惯性矩,G为剪切弹性模量。