结构模态参数的子空间辨识方法

　　1　引　言

　　结构系统辨识的主要内容是从其动力学试验数据中找出结构的振动模态参数、振型、传递函数和结构参数。早期的研究多采用共振试验法,60年代末到70年代,随着计算机技术和快速付立叶变换在结构振动试验中的广泛应用,传递函数和频谱分析这一类频域方法成为结构动力学实验研究的基本手段和主要算法。频域辨识方法的本质是利用一个拟合的参数传递函数来建立系统的数学模型。除了受到付立叶变换方法的局限性影响外,在模态频率比较密集,峰值差异较大及高阻尼比,特别是在有测量噪声时,频域方法的应用可能得出不准确的结果[1]。这时,一些时域方法则可提供更完备的结构信息。如近年来出现的子空间(Subspace)辨识方法。

　　基于子空间的状态空间系统辨识(4SID-Subspace-based State-Space System Identification)方法直接从输入/输出数据矩阵的行、列空间中估计出系统的Kalman状态序列或广义观测矩阵,通过求解最小二乘问题,即可容易地获得系统的状态空间模型。与“经典”的系统辨识方法相比,子空间算法不需要对模型预先参数化;一系列基本的线性代数运算,如QR分解及SVD等,避免了“经典”方法因非线性迭代引起的数值“病态”;尤其是子空间方法处理高阶多变量系统能象单入单出系统一样简单[2]。

　　子空间系统辨识方法产生于90年代初,大量的研究成果出现于控制和信号处理领域。近年来这一方法也被应用于辨识柔性动力学结构的系统参数,如大型航天、航空飞行器等复杂结构,取得了好的结果[3,4]。

　　本文首先概要地介绍子空间算法原理及其运算步骤,并通过对一桁架结构模态参数的辨识,说明子空间方法在复杂结构辨识中的应用特性。

　　2　子空间系统辨识算法

　　考虑一个多变量系统,其状态空间模型描述如下:

　　N为噪声项。

　　在(6)式中

　　分别为所述系统的广义可观测矩阵,下三角Toeplitz矩阵及状态矩阵。

　　(6)式所表述的输入输出方程是所有子空间方法的基础。考察该方程会发现:ΓαX项的秩等于系统的阶数n,而且已知Γα或X,可直接得到系统的状态空间矩阵A、B、C、D、Q、R、S。子空间辨识算法包括了三个主要步骤:第一步是计算输入输出Hankel数据矩阵的行空间投影。典型的做法是进行QR分解。第二步,对该投影结果进行奇异值分解,可得出系统的阶次以及可观测矩阵Γα和状态序列X的卡尔曼滤波器估计X^。最后,由可观测矩阵Γα(如IV-4SID,MOESP等方法)和/或估计的状态序列X^(如N4SID,CVA等)确定出系统矩阵A、B、C、D以及噪声协方差矩阵R、Q、S。