组合曲梁的径向应力及其对正应力的影响

　　文献^〔1〕已经得到了组合曲梁在纯弯曲时的正应力计算公式,然而那是根据径向应力可忽略不计的假设导出的。该假设对于曲率不很大的组合曲梁是相当精确的,可是对于曲率较大的组合曲梁,其径向应力的数值可能较大或接近弯曲正应力^〔2〕,从而使按照公式求得的弯曲正应力数值和实际应力的差别比较显著。为了使组合曲梁在纯弯曲时径向应力对弯曲正应力的影响有一个正确估计,这里仍以两种材料组成的矩形截面组合曲梁为例,进一步导出它的径向应力计算公式。

　　1　公式的推导

　　如图1(a)所示,由两种材料组成的矩形截面曲梁在外力矩M_e的作用下保持平衡。这里用符号Ⅰ表示第一种材料,用符号Ⅱ表示第二种材料。现在研究曲梁在材料Ⅱ上距该梁曲率中心O的半径为r₂处所产生的径向应力。为此考虑梁元素BDGF的平衡,其放大的自由体如图1(c)所示,

面积BD和GF具有如图1(b)所示的阴影面积A。由这些面积上的弯曲正应力σ_Ⅱ分布所产生的合成圆周力T可按下式求得

　　式中　a′为梁的内径,t为矩形截面厚度。圆周力T沿着直线OL的分量由作用在面积_tr2dφ上的径向应力σ_rⅡ所平衡。因此,根据沿着OL的径向平衡条件可得∑F_r=0,即

　　因此

　　这里利用了5的关系式。下面利用虎克定律进一步导出径向应力的表达式。

　　设组合曲梁截面的形心轴和中性轴到曲率中心O的距离分别为R、R₁,R和R₁之间的径向距离为e,如图2所示,

　　则材料Ⅱ上距O点为r的曲线fg的应变ε_n为

　　式中的ω=Δdφ/dφ称为角应变。注意到R₁=R-e,所以应变ε_n和应力σ_n可用角应变表示为

　　把(1)、(5)式代入(3)式,可以得到

　　同理可以得到

　　这里的c′为曲梁在两种材料交界处的曲率半径。

　　以上两式即为矩形截面组合曲梁径向应力的计算公式。式中的E₁、E₂分别为两种材料的弹性模量,ω和e在文献〔1〕中已经得到,它们是

　　式中

　　这里的A₁和A₂分别为材料Ⅰ和材料Ⅱ的截面面积。

　　上面虽然是以矩形截面组合曲梁为例推导得到的径向应力计算公式,但同样可以把它们推广到其他截面形式的组合曲梁,只要梁有一个纵向对称面,而且外力矩Me作用于对称面内的情况。