以理想费米气体为工质的量子制冷循环

    1 引  言

    众所周知,经典的卡诺制冷循环,其制冷系数与工质无关;经典的Stirling循环、Ericsson 循环等,一般情况下它们不具有理想回热特征,因而它们的制冷系数与工质有关,一些文献对磁工质的Ericsson制冷循环作过研究[1~2].当使用经典的理想气体为工质时,可以利用理想气体状态方程

    得到卡诺制冷循环、Stirling制冷循环、Ericsson制冷循环的制冷系数相同,其值为

    这里,Qh是工质放给高温热源的热量,Qc是工质从低温热源吸收的热量,W是外界对工质所作的功,Th是高温热源的温度,Tc是低温热源的温度.

    可是当气体处在低温或高密度的条件下,气体的状态方程(1)就不适用了.必须考虑量子简并性,其状态方程应加以修正.因而它们的制冷系数也将不同,这将涉及到量子热力学循环问题.

    近来,一些文献对量子热力学循环作了有益的研究[3~8],其工作物质涉及到自旋1/2系统、谐振子系统、费米子和玻色子系统、势阱中的微观粒子系统等.本文基于理想费米气体的状态方程,对量子Ericsson制冷循环进行了研究,我们得到了制冷系数的普遍表达式.在很高温条件下,其结果回到经典表达式(2);并在低温条件下得到了制冷系数的具体表达式,这将对低温制冷机的研究提供理论依据.

    2 理想费米气体的热力学性质

    根据量子统计物理[9],理想费米气体的压强和粒子数密度分别为

    其中g为自旋简并度,K为平均热波长,k是玻尔兹曼常数,T为气体的温度,N为粒子总数,V为费米气体的体积,M为单个费米子的体积,fn(z)称为费米积分.其平均热波长和费米积分的定义分别为

    和

    其中z =exp(L/kT)称为逸度,#(n)称为伽玛函数,h为普朗克常数,m为费米子的质量,L为气体的化学势.由公式(3)和(4),可得理想费米气体的状态方程

    其中

    被称为修正因子

    理想费米气体的内能、熵和热容分别为[9]

    利用热力学关系

    和公式(3)~(4),我们可以得到定压热容

    从公式(8)和(11),我们能够推导出等温过程和等压过程的热量,它们分别为

    其中下标i和f分别代表初始和终止状态.

    利用公式(12)和(13),我们可以分析量子Ericsson制冷循环中的热量

    3 量子Ericsson制冷循环

    Ericsson制冷循环是由两个等温过程和两个等压过程组成,如图(1)为它的温熵示意图,其中Q12和Q34分别为两个等温过程的热量,Q23和Q41分别为两个等压过程(回热过程)的热量,TH和TL分别为高低热源的温度,PH和PL分别为高低压强.由公式(12)和(13),我们得到各过程的热量表达式