基于进化算法的空间面轮廓度误差的测量

　　1　引言

　　在工程中,面轮廓度误差的测量、评定和控制具有着重要意义。在生产中,面轮廓度误差常用仿形法、截面法和坐标法进行测量[1],前两者测量精度都不高,用坐标法测量面轮廓度时,由于被测轮廓与设计基准之间存在的位置误差会对评定结果产生影响,从而降低了评定精度。面轮廓度误差评定通常按照最小区域原则进行,但复杂的空间曲面实现最小条件比较困难。因此,这里提出一种空间面轮廓度误差评定法,它利用二维样条函数实现理论轮廓曲面拟合,采用遗传进化理论和最小二乘法进行优化,实现被测轮廓与理论轮廓之间位置关系的自动调整,并将被测轮廓与测量基准的位置误差从面轮廓度误差评定结果中剔除出来,以保证评定精度。

　　2　面轮廓度误差评定分析

　　2.1　建立理论轮廓关系式

　　设:在理论坐标系X⁰-Y⁰-Z⁰中,理论轮廓节点坐标为L=0,1,…,w。于是,对单值的非闭合的空间曲面,理论轮廓可用双三次样条插值函数关系式S⁰(x,y)来表达[2]:

　　式中:F0(u),F1(u),G0(u),G1(u),F0(v),F1(v),G0(v),G1(v)称为三次混合函数,它们分别为:

　　其中:fi,j=f(xi,yj)为轮廓区域节点的函数值

　　分别为节点沿x、y两个坐标方向的偏导数(斜率)以及二阶混合偏导数值。通常是以理论节点为原始数据,根据边界条件用双三次样条插值计算的通用算法求得。

　　2.2　面轮廓度误差评定分析

　　根据面轮廓度定义可知,当测量节点与理论节点的位置一致时,由被测面轮廓节点到理论轮廓的偏差来评定面轮廓度误差。在测量坐标系X—Y—Z中,被测面轮廓节点Pk(xk,yk,zk)到理论轮廓S⁰(x,y)之间的偏差为dk(k=0,1,…,Q)。根据面轮廓度误差定义可知,偏差dk即为Pk(xk,yk,zk)到S0(x,y)的法向最小距离,这是一个典型的二维优化问题,其优化模型为:

　　式(2)中的S0(x,y)与式(1)相同。自调整的面轮廓度误差评定的关键是以被测轮廓节点Pk到理论轮廓S⁰之间的偏差dk之平方和为最小这一原则来调整被测轮廓节点在理论坐标系X⁰-Y⁰-Z⁰下的位置,使被测轮廓最大限度地适应理论轮廓。设测量坐标系X—Y—Z在理论坐标系下的坐标位置为(u,v,ω,α,β,γ),其中(u,v,ω)为测量坐标系原点在理论坐标系下的坐标值,(α,β,γ)为测量坐标系相对于理论坐标系中的Z⁰轴、Y⁰轴、X⁰轴的偏转角,那么在测量坐标系下的被测轮廓节点Pk(xk,yk,zk)转换到理论坐标系下,就成为理论坐标系X⁰-Y⁰-Z⁰下的节点Pk′(xk′,yk′,zk′)。故依据空间坐标系中的坐标变换关系有: