带通椭圆球面波函数能量聚集性分析

    0 引言

    在传输波形的设计和选择上，为了避免对其他通信系统造成干扰，同时为了减小符号间干扰，使传输系统具有较高的可靠性，用于传输信息的脉冲波形应在频域上带宽有限同时又在时域上集中分布，即在时域和频域均具有较高的能量聚集性。我们所熟知的基带波形如方波、三角波等，持续时间有限，但在频域却是无限的，其在频域的能量聚集性较低，用于传输时会对其他通信系统造成干扰。而如 sinc 函数，虽严格带限，持续时间却无限，其在时域的能量聚集性较低，在通信系统中的功率利用率较低，系统的可靠性较低。因此，寻找和设计在时域和频域都具有较高能量聚集性的传输波形对提高系统的有效性和可靠性具有十分重要的意义。

    Slepian 经过研究发现零阶角向椭圆球面波函数可最大程度地集中于给定时间区间内。以此为基础，他提出了一种带限函数——椭圆球面波函数PSWF（Prolate Spheroidal Wave Functions），并与积分方程建立了联系[1-2]。文献[3-4]在该椭圆球面波函数的基础之上，又对两类函数进行了研究。为了便于区分，本文将这三类函数分别称为基带椭圆球面波函数、类椭圆球面波函数和带通椭圆球面波函数。

    文献[5]对基带信号的能量聚集性进行了理论推导，得到在频域具有最佳能量聚集性的时限基带信号是基带椭圆球面波函数。文献[3]通过带通采样定理得到一组载频型信号函数，并证明了该类函数于其具有与椭圆球面波函数相类似的性质，文中称之为类椭圆球面波函数。文献[4]针对超宽带系统脉冲波形设计问题，提出了带通椭圆球面波函数的积分方程表达形式，并给出基于特征值分解的数值算法。但是，该函数能量聚集性如何，在文中并未见理论说明，目前也还没有相关文献对该问题做出解答。并且，带通椭圆球面波函数的能量聚集性对通信系统的有效性有何影响，也还没有相关文献进行分析。

    本文将对带通椭圆球面波函数的能量聚集性进行分析，并与基带椭圆球面波函数和类椭圆球面波函数进行比较，分析它们在传输系统中的应用及对系统有效性的影响，最后通过仿真验证分析的结果。

    1 椭圆球面波函数

    为方便后面的分析，先简要介绍一下椭圆球面波函数的导出式。Slepian 在文献[1]中提出的基带椭圆球面波函数( ,)nψc t满足的积分形式如下：

    式中：nλ 是对应于 ( ,)nψc t的特征值；0c = tΩ 是时间带宽积。

    从式(1)看出，( ,)nψc t是带限于[ −Ω, Ω ]，又在时域上集中分布于[ ]0 0−t  ,t的函数，集中分布的程度取决于其对应的特征值nλ 的大小。