基于Helmholtz方程最小二乘法的声场重构

    国内外许多学者对近场声全息(NAH)技术进行了研究,并取得了相应的成果.Williams等[1~3]首先提出了基于Fourier变换技术的NAH技术,该技术理论完善,容易实现,并已被广为应用.但它却只能对共形面(与系统坐标平面共形)进行重建,对于有着复杂表面的声源不能达到准确定位和识别的目的.因此,出现了一种基于边界元(BEM)的NAH技术[4,5],该技术适用于具有任意表面的声源,但重建声源表面声场时会遇到奇异值积分和解的非惟一性问题,虽然该问题能够结合其他技术予以解决[6],但这使该技术变得更为复杂、实现过程较为繁琐,也不利于实际应用.为了避免奇异值积分问题,Koop-mann等[7,8]提出了波叠加(WSA)技术,并引入混和层势理论解决了解的惟一性问题.

    Helmholtz方程最小二乘法(HELS)是由Wu等[9]提出的又一种NAH技术,该技术的基本思想是将辐射声场展开成为一系列基于Helmholtz方程特殊解的正交函数的线性组合,其组合系数根据匹配场点的声压,采用最小二乘法而获得.HELS方法适用于任意形状的声源,对测点位置和重建点位置没有任何限制,比较容易实现.由于展开项的数目往往远小于BEM方法中表面网格的节点数,因此与可以大大节省计算时间.本文在线性组合系数求解及展于BEM的NAH技术相比,测点数目相对较少,开项数确定两个方面进行了改进,使得该方法的理论更加完善、适用范围更为广泛.另外,还提供了实现HELS方法的具体过程与必要的细节.

    1 求解Helmholtz方程

    由振动物体所辐射并在无限流体介质中传播的声压满足波动方程,而波动方程的Fourier变换形式通常被称为简化波动方程或Helmholtz方程:

    式中:2为拉普拉斯算子;p(x)为声场x处复声压;k=X/c,为波数(X、c分别为声波的角频率和传播速度).在振动声源体的表面,p(x)满足下列3个边界条件之一或其组合形式:

    Dirichlet问题

p(xB) = g(xB)

    Neumann问题

    混合问题

    式中:xBI5B,5B为声源体表面边界;a、b和g为已知函数;5/5n为边界5B上的法向导数.

    以式(2)为边界条件的方程(1)的解可以表示为一组独立函数的线性组合形式[9]:

    式中:Q为流体介质的密度;Cj为配置系数;7j为基函数,由求解波动方程,并经正交化而得到.将式(1)写成球坐标形式:

    式中,r、H、<分别为球坐标系中的坐标参量.

    附加Dirichlet边界条件、式(2)及在无限远处的Sommerfeld辐射条件,

    方程(4)的近似解也可表示为式(3)的形式,即可表示为Helmholtz方程的特解)))球面波函数Wj的线性组合,

    式中:j,m,n,l间的关系为,j=n2+n+m+1;l=j-n2;Pmn(G)表示球Hankel函数与伴生Legendre函数.