频域法直线误差分离技术的周期性假设

　　作为测量和分离工件的直线形状误差和加工机或测量机的直行误差运动的精确方法,频域三点法[1]得到了广泛应用.该方法一般都假设直线形状误差h(n)满足周期性条件h(n+N)=h(n),N为采样周期,这是利用Fourier变换或Fourier级数的前提.然而,由于直线误差检测的非封闭性,实际的h(n)并不满足这一条件,它往往是非周期函数,这必然导致测量范围端点处的非连续性,引起高阶谐波分量失真等边缘效应[2~4].为此,本文拟分别通过趋势线构造方法和对称延拓方法[5]来加以解决.

　　1 测量原理

　　三点法的测量系统如图1所示,各测头读数以离散形式可表示为

  (1)

　　式中:n=0,1,2,,,N-1;Δl=L/(N-1);N为采样点数;L为测量长度;li=piΔl,i=0,1,2为各测头沿x方向的位置,其中l0=p0Δl=0;zi(n)为各测头的读数值;h(n+pi)分别为三个测位li上的直线形状误差;δ(n),γ(n)分别为直行误差运动的平移分量和转动分量.

　　2 周期性假设

　　2.1 趋势线构造方法

　　假设直线形状误差h(n)的规律如图2所示,连接其测量范围的两个端点E(0,h(0))和F(N-1,h(N-1))的直线可看作是h(n)曲线的趋势线,其方程以离散形式可表示为

　　式中:α=[h(N-1)-h(0)]/(N-1).其中,h(0)和A的确定过程如下:先由通常的频域三点法[1]得到大致的直线形状误差h(n),据此得到先期的h(0)和h(N-1),进而可得A,再按以下方法精确得到直线形状误差h(n)和直行误差运动的平移分量δ(n)和转动分量γ(n).

　　先定义如下的周期性函数

　　由于f(0)=h(0)-s(0)=0,f(N-1)=h(n-1)-s(N-1)=0,有f(0)=f(N-1)=0,因此,函数f(n)被设定为周期为N的两端点首尾连续的周期性函数,即f(n+N)=f(n).

　　由式(3)可得,h(n)=f(n)+s(n),代入式(1),有

 (4)

　　式中:s(n+pi)=h(0)+A(n+pi);i=0,1,2.

　　分别将式(4)中的列向量和矩阵顺次记作Z,A,H,B,Δ,则有

　　式中:Z为消除趋势后的读数列向量;A,H分别为形状误差映射矩阵及形状误差列向量;B,Δ分别为误差运动映射矩阵及误差运动列向量.

　　设定权值系数行向量C=[c0,c1,c2],左乘方程(5)两端,有

　　通过选择合适的C,以在分离操作中首先消除误差运动的影响,

  (8)

　　假设Z(k),F(k)分别为z(n),f(n)的离散Fourier变换,对式(8)进行离散Fourier变换,则有

　　其中:为取决于系统结构参数的“相移旋转因子”.

　　当G(k)≠0,即不产生谐波抑制时,有

　　对式(10)进行基于逆Fourier变换的反滤波处理,可得