测量圆度误差数学建模与实践

　　圆度误差是指回转体的同一正截面上实际轮廓对其理想圆的变动量,机械零件回转表面轮廓的圆度误差对机器和仪器的功能有直接的影响,它是高精度回转体零件的一项重要精度指标,也是检验回转体类零件加工质量的重要指标之一.圆度误差是机械零部件的一项重要参数,对其测量是一个复杂、重要的工作.目前对其测量是应用圆度仪和进口的三坐标测量仪,而圆度仪和进口的三坐标测量仪的价格都非常昂贵[1-3].

　　笔者在实践的基础上提出了一种求解圆度误差的算法,为开发高精度的圆度误差测量系统和自主知识产权的设立奠定了基础.

　　1 极心变换

　　平面轮廓曲线当以极坐标表示时,极点的选取是任意的.但这里的极心变换指的是对同一轮廓、极心在微小范围内作变换时极径如何变换的问题[4].

　　设某圆形工件的剖面如图1所示,已知以O为极心时,极径函数ρ1=ρ1(θΔ),然而,实际应用中常要求知道极心为另一点O1时的轮廓曲线的表达式ρ1=ρ1(θ1),故要求导出ρ1与ρ,θ1与θΔ的关系.

 （1）

　　将ρ1作未知函数,解式(1)并求出根得:

　　从图1中，ΔAOO1亦可得出上述关系，将式(2)后一项展开成无穷级数，经整理后可得到ρ1的傅立叶变换展开式:

　　ρ0,a2k均为ρ的函数,从而是H$的函数,但当ρ=ρ(θΔ)关系已知时,ρ0,a2k均可求出,且与θ1无关的常数.把各系数代入(3)式可得:

　　其中,辐角θ1与θΔ的关系有:

　　推导过程见文献[2].

　　对于通常的工件,当偏心e很小时,ρ-ρ0与a2k(k=1,2,3,,)均可忽略不计,即有ρ1=ρ+ecos(θ1-φ),而偏心较大时,则ρ1Xρ+ecos(θ1-φ).

　　2 圆度误差建模

　　在工件某一横截面圆周上设置有3个传感器SA,SB,SC.设各传感器之间夹角为φ1,φ2,以O为中心和传感器SA轴线重合为x轴,建立静止坐标系xoy[5](如图2所示).

　　工件轮廓曲线用极坐标表示.设极点O1为工件上任一点,但该点相对于工件位置不变,三点法假设工件在该截面做刚体平面运动,它可以用O1点的平动(漂移)和绕该点转动来描述,以时刻t=0时,过O1点和x轴平行,且方向与x轴方向一致的线段为极轴,工件顺时针转动,极角θ以逆时针方向度量,ω为角速度.测头A,B,C轴线与轮廓交点为A',B',C',则3个传感器所测得的量为式(6)、式(7)、式(8).S(θ)为形状误差,Rx,Ry分别为O1漂移的x,y轴向分量,是时间函数.

　　式中,A(θ),B(θ),C(θ)都已减去了本身的直流分量,且考虑做多通道测试时,多通道灵敏度不可能一样.因而,设A,B,C3个传感器的标定系数分别为a,b,c,那么将上面3个传感器的输出相加,即: