一种涡旋面轮廓度误差高精度评定算法的研究

　　0 引言

　　涡旋压缩机动、静涡旋齿的面轮廓度直接影响到两齿面的啮合情况，进而影响压缩机的工作性能。对于各种复杂曲线轮廓度与曲面轮廓度的评定方法，国内外有大量学者进行过深入研究，提出了平面、圆柱面、球面、椭球面和抛物面等曲面轮廓度误差评定的通用数学模型[1]，但针对涡旋曲面轮廓度误差尚未有专用的评定算法。本文就某型号涡旋压缩机的涡旋面，在其满足曲面对底面垂直度要求的条件下，首先建立了基于最小二乘的逼近优化算法的数学模型; 然后分别使用该算法和德国 Zeiss 三坐标测量机自带算法对涡旋面实测数据进行了计算; 最后分析了两种计算结果的重复性和精度。

　　1 误差评定数学模型的建立

　　1.1 涡旋型面的产生

　　涡旋面是以圆的渐开线为准线，以平行于Z轴的直线为母线展开所形成的曲面。设渐开线方程[2]为:

　　式中: R为基圆半径; φ为渐开线的渐开角; ±σ为内、外涡旋线起始角。

　　则由该准线和母线组成的空间理想涡旋曲面S可表示为:

　　1.2 逼近参数的求取

　　理想曲面通常认为是充分光滑或者是分区光滑的曲面。在此前提下，曲面S上任意一点的特征可用如下三个矢量来表示: 矢径P、单位法向量n和球切线矢量τ。将P、n、τ看成曲面S在该点的坐标系。利用曲面S中P、n、τ三者之间的关系[3]，定义影响函数λ(P)为:

　　式中: λ(P)为由n、τ 的元素组成、由曲面S的特征决定的影响函数; τx、τy、τz分别为球切线矢量τ在X、Y、Z轴上的分量; α、β、γ分别为矢径P与 X、Y、Z轴的夹角。

　　图1所示为涡旋面在XOY平面的投影，设实测点Qi( xi，yi，zi)均在理想曲面S附近，实测点数i=1，2，…，N。设涡旋面准线上理论点Qφ( xφ，yφ，zφ)处的切向量为m，该点法向量为k。其m与k的关系如图1所示。

　　根据方程的数学特性，将渐开线方程中的x和y分别对φ求导，即可求得m=(x'φ，y'φ，0)。由于向量m 与向量k垂直，则k=(-y'φ，x'φ，0)，将向量k单位化后可得到k的单位向量，即为影响函数λ(P)中的前三个参数: cosα、cosβ、cosγ，而其他三个参数的求取与该三个参数有直接关系[4]。由上可得cosα、cosβ、cosγ分别为:

　　根据梯度的数学含义，理想曲面上角度为φ的点Qφ在向量k方向上的梯度为:

　　设实测点与其对应的理论点之间形成的向量为h，则h可表示为: