小尺度封闭空间声场的无网格数值算法

    1 引言

    封闭空间内部声场的数值计算是声学设计、虚拟现实等领域的关键技术，在国内外受到越来越多的关注[1]。对于小尺度封闭空间如飞机、汽车舱室等，其界面尺寸远小于声波波长，低频效应显著，且声振耦合现象突出，在计算其内部声场时，要想获得精确解，必须依赖波动声学理论。目前大部分关于小尺度封闭空间声场数值计算的研究都集中于有限元、边界元等方法，但这些方法的精度受到网格因素及分析频率的限制。另外，由于这类方法普遍采用低阶多项式作为声压插值函数，不可能对较高频率声波传播问题给出很好的近似。要提高计算精度，只有大幅增加单元网格数量，这使得前端建模的工作量巨大，尤其对于复杂结构模型，容易出现畸变的网格。

    针对有限元、边界元法的诸多问题，在力学领域逐渐发展了一种新型数值计算方法——无网格法。该方法利用一组散布在问题域中以及域边界上的有限个离散点表示该问题域和其边界，通过几个互不相关离散点上的值拟合出一个逼近函数，该函数具有较好的光滑性而且导数连续，这样就摆脱了网格的束缚。1977 年，Lucy 等提出的光滑粒子动力学（SPH）法[2]被普遍认为是最早的无网格法，并大量应用于天体物理学中。不过在随后的一段时间内无网格法没有得到足够的重视，也没有取得突破性进展。直到 1994 年，Belytschko 等提出 Element Free Galerkin(EFG)法[3]后，无网格法才得到迅猛发展。此后，无网格法出现了诸多变种方法。区分离散微分方程形式可分为迦辽金型无网格法、配点型无网格法、最小二乘型无网格法等。迦辽金型无网格法所得到的系统矩阵通常是对称的，同时可得到与采用能量法相同的公式形式，具有特定的物理意义，因此这种类型无网格法应用最为广泛。

    目前无网格法仍多应用于力学领域，在声学中的应用较少。国外一些学者进行了具有代表性的一些工作，如 Bouillard 等将无网格法应用于声与振动的耦合计算问题[4]，Alves 等利用无网格法计算声波散射问题[5]，Kireeva 等利用无网格法计算自由场中的声波传播问题[6]；国内贾晓峰等将无网格法应用于地震波的计算[7]，取得良好的效果。本文试图将无网格法引入小尺度封闭空间内部声场数值计算，首先推导了无网格声场数值计算模型，然后通过计算室内声场的重要参数——声传递函数及混响时间，分析该方法的精度和适用性。

    2 无网格声场数值计算模型

    建立无网格声场数值计算模型首先需要获得矩阵形式的系统方程，然后构造无网格形函数，以对节点物理量进行插值，再选择积分方法计算系统方程中的矩阵，最后施加边界条件。以下介绍推导过程。