声全息重构卷积计算中混迭问题的研究

    近场平面声全息技术是近年来发展起来的先进的声学测量和分析技术。它利用全息平面有限范围上的声压信号,可以重构出整个空间和源平面上的声场分布,在声功率测量和噪声源定位与识别等方面具有重大实用价值。

    在声场的离散重构表达式中,预测平面上的重构声压可以表述为全息声压与已知格林函数的二维离散线性卷积。众所周知,为了实现快速卷积计算,需采用二维离散傅立叶变换通过循环卷积来实现二维线性卷积的求解,两个信号的二维周期延拓导致卷积结果中存在着“混迭”误差,这在全息中称为“卷绕”误差。为了克服循环卷积中固有的“混迭”现象,需要对两个二维序列同时进行补零处理[1]。由于格林函数在空间中具有无限延伸性,补零与格林函数的实际物理意义不符,同时格林函数在二维正负数轴上取值以及在其窗孔边缘上的取值具有不确定等特点,全息重构的二维卷积不同于通常意义下的二维线性滤波卷积。如何在全息重构时克服循环卷积中的混迭现象,目前尚未有文献进行详细的理论分析。虽然文[2]中提出在重构时对全息序列进行补零的处理措施,但未给出详细的理论推导。

    本文根据平面近场全息重构中二维全息声压序列和格林函数序列的构成特点,对声全息重构卷积计算中的混迭问题进行了讨论,为全息重构离散算法的准确实现提供了理论依据,同时也为研究重构中的误差分离提供了方便。

    1　二维循环卷积

    设有两个具有相同的长度的二维离散序列x(n1,n2)和y(n1,n2)(n1,n2=0, 1, 2,…, 2N-1)。它们与有限离散频谱X(k1,k2)和Y(k1,k2)构成离散傅氏变换对,如果将两个有限离散频谱X(k1,k2)和Y(k1,k2)相乘,并令Z(k1,k2)=X(k1,k2)·Y(k1,k2),则Z(k1,k2)也是一个有限离散频谱,它所对应有限离散序列z(n1,n2)可通过Z(k1,k2)的傅氏逆变换得到

　　需要注意的是,根据有限离散傅立叶变换的性质,一个域中的周期性与变换域的离散性互为对应,因上式中的二维离散序列都是以2N为周期的周期序列,分别用x~(n1,n2),y~(n1,n2)和z~(n1,n2)来表示,而有限长序列x(n1,n2),y(n1,n2)和z(n1,n2)只是对应周期序列的主值部分。则由二维离散傅氏变换得到的循环卷积表达式为

    通常意义下二维离散序列x(n1,n2)和y(n1,n2)的线性卷积定义为

　　在上式中,由于当n1-l1<0或n2-l2<0时,x(n1-l1,n2-l2)=0,因此l1

    显然循环卷积式(2)不同于线性卷积式(4),式(2)中求和范围要大于式(4),因此当用式(2)的结果来代替式(4)定义的线性卷积结果时,因二维离散序列的周期循环而产生“混迭”误差。