圆度测量中的高斯滤波快速算法

　　用圆度仪测量圆度时,必须滤除测量信号中含有的表面粗糙度信号和电噪声信号(如振动和电子噪声)。滤波以后的圆轮廓信号才能用于圆度评定。所以滤波器是圆度测量系统的一个关键组成部分,它的性能直接影响圆度测量的精度。

　　早期圆度测量系统中使用的模拟RC或2RC滤波器,其非线性相位特性会导致滤波后的圆轮廓形状严重扭曲,因此模拟RC或2RC滤波器现已基本停止使用。Whitehouse提出了相位校正滤波技术,它不仅可以应用于表面测量系统,而且还可应用于圆度测量中。在此基础上发展起来的相位校正2RC滤波器,解决了非线性相位特性问题。然而相位校正2RC滤波器,其幅度传输特性过渡带较宽,截止特性较差。高斯滤波器具有优良的时频特性,国际标准ISO11562已明确规定将高斯滤波器用作表面粗糙度测量的中线滤波器,取代旧的2RC标准滤波器。很自然地,国际上正在积极考虑将高斯滤波器作为圆度测量的一个新的标准滤波器。德国国家物理研究院已经采用了这一新方法。

　　本文讨论高斯滤波器的基本特性,逼近实现方法,及其在圆度测量中的快速算法,并解决数字滤波的边缘效应问题。

　　1 高斯滤波器的基本特性

　　ISO11562标准规定高斯滤波器的权函数,即冲激响应为[1]

　　式中: t为空间域变量,K'是截止波长,α是一个常量,当K=K‘时,要求高斯滤波器的传输值为50%,所以α=0.4697。

　　高斯滤波器的傅立叶变换仍然是高斯函数

　　在文献[2,3]中分析了高斯滤波器的幅频特性和相频特性,并与相位校正2RC滤波器作了比较,高斯滤波器具有更好的幅频截止特性,更高的信噪比,并且本身具有零相移的特性,这些都优于相位校正2RC滤波器,更适于圆度测量的滤波之用,本文不再赘述。下面将从时频特性的角度来说明高斯滤波器更适于圆度测量应用。理想的信号传输响应应该是系统的输入波形与输出波形一致。然而对于具有频率衰减的滤波器,它的本质特性就是选频特性,不可能有如此理想的传输响应。滤波器带宽越窄,信号波形将越失真。就传输响应而言,一个优化的滤波器其幅频响应频差与波形失真的积应为最小。

　　设一个滤波器的时域响应为x(t),幅频响应为X(ω),其波形失真可以由时域响应时差即它的均方值表示

　　幅频响应频差同样由它的均方值表示

　　只有它们的积为最小时,才是传输响应意义上的最优滤波器。

　　Gabor已经证明了只有高斯滤波器才是这一意义上的最优滤波器[4],并且其时差与频差积为0.5。