原子力显微镜动力学行为的数值分析

　　原子力显微镜(AFM)广泛应用于纳米级平板印刷、碳纳米管的处理、DNA、有机分子,以及纳米电子设备、半导体设备和数据采集技术中的成像 [1]。AFM建立了对附在弹性微悬臂梁上的尖角探针及探针与模板表面间相互作用力的动态监测和控制,见图1。随着原子力显微镜的广泛应用,有关非线性理论的研究不断发展, 1999年Aimé等基于单自由度非线性振子模型用摄动法计算了van derWaals力场中微悬臂梁的动态响应,结果表明线性分析不能说明频率漂移现象,进而不能解释当尖角与样品间的距离有微小变化时产生的较大的频率漂移,而振子的非线性行为能够解释观察到的共振频率漂移与尖角和模型间距离的函数关系现象[2]。文献[3-4]在单自由度振子中考虑了van derWaals力场和Lennard-Jones potential力场,分析了系统在正弦激励下的动力学行为,应用Melnikov方法预测其中的混沌,表明当阻尼、激励及系统的平衡位置在一定范围内时系统可能有混沌运动出现,并显示出混沌运动发生时系统物理参数的变化范围;同时表明了系统的反馈控制可以消除混沌的可能。文献[5]基于一阶 Galerkin截断研究了van derWaals力和Derjaguin-Muller-Toporov力作用下微悬臂梁的自由和受迫振动。文献[6]通过一阶Galerkin截断模型化为单自由度系统,利用多尺度方法,得到了稳定响应振幅与解谐参数的关系,用图形表示了激励振幅和阻尼对稳态振幅的影响。本文以一阶Galerkin截断研究在Lennard-Jones potential力场中微悬臂梁的动力学行为,说明在其它参数不变,激励频率为基频率和2倍基频时激励振幅对杆的影响。

　　1　建模及离散化

　　AFM中尖角探针与模型表面的相互作用力为Lennard-Jones势能形式,考虑单自由度的截断模型,采用文献[5-6]中的结果得到

　(1)

　　式中　y为微悬臂梁的变形,为正则表示向样品方向变形,为负则向相反方向变形;η—为由压电元件激励的激励振幅,y和η—通过平衡时探针和样品之间的间隙η*无量纲化;Ω—=Ω/ω1;d1=0·01;B1=-0·148967;C11=-4·591 18×105;C12=0·149 013;E1=1·573 67。在以下的计算中初始条件皆取为零。

　　2　系统的数值分析

　　为验证系统是否有混沌,可从以下几方面分析[7-8]:1)初值敏感性;2)相位图;3)Poincare图; 4)Lyapunov指数。

　　2. 1　系统的初值敏感性

　　系统流φ(t,x)在不变封闭域Λ内具有初态敏感性是指若存在一个ε>0,对于任意给定x∈Λ和x的邻域U,则存在y∈U和 t>0,使得|φ(t,x)-φ(t,y)|>ε。混沌系统具有这样的性质:在任意给定的2个相近的初值,其位移从2点开始分歧,并变得互不关联,分歧的速率体现系统和不变闭区间的特点。系统方程(1)也体现了这一特点,图2为初值相差为0·1%时系统位移的差值图。