水下声散射问题的奇异积分研究

　　0　引言

　　水下目标声散射特性研究是水声技术中的重要课题，主要研究方法有高频近似方法和低频数值方法.随着计算机的高速发展，低频数值方法在声散射特性研究中得到快速发展.边界元法作为一种水下声散射问题研究中常用方法，具有降低问题空间维数、自动满足Helmholtz方程等优点，但是存在两个数值计算上的难点，一个是奇异积分、近奇异积分的计算，主要的解决方法有坐标变换方法、Roberto　D　G提出的利用梯度定理消除积分奇异性方法、基于Cauchy主值积分的Gauss积分法等，另一个是Helmholtz外问题在特征频率处解的非唯一性问题，主要有CHIEF方法和B-M方法等.当场点位于源域内时，就会产生奇异积分的元素;当场点和源域十分接近但不在源域内时的积分，则会产生近奇异积分的元素，从理论上说，此时积分是非奇异的，但从计算结果可以发现，当场点接近源域时，被积函数在积分区间内变化非常迅速，而且场点和源域距离越近，积分值变化越剧烈.当场点充分远离源域时，可以通过Gauss积分公式计算得到准确结果，然而随着场点逐渐接近源域，通过Gauss积分公式计算得到的结果精度会急剧降低，这就是所谓的“边界层效应”.

　　对于边界元法中奇异积分和近奇异积分，采用全局法(global　approach)加以解决，推导得到了积分的数值计算表达式，通过该表达式计算边界元法中的积分，对刚性球的水下散射特性进行了仿真研究，仿真结果证明了本文方法的有效性和正确性，且较坐标变换方法等常用于奇异积分计算的方法具有计算效率高、计算精度高等优点.

　　1　声散射特性研究的建模方法

　　Kirchhoff表面积分方程在平面波入射下，任意形状、任意表面阻抗目标表面的散射声场经离散化处理后为[1-2]

　　式中：(cosθ^l1，cosθ^l2，cosθ^l3)为第l个积分面元Sl上的单位法向量;ri为从场点到源点的距离;α，β分别为入射声波的方位角和极角.通过3ds　max将目标表面离散为N个三角形面元，通过(1)式得到一个N×N的关于ps矩阵方程组，计算该方程组即可得到ps值，将p代入Kirchhoff外部积分方程即可计算得到空间中任意一点的散射声场值.

　　矩阵系数的数值计算难点是两类静态项积分的计算，即

　　2　积分方程中两类积分的计算

　　2.1　的求解(i≠j)

　　定义积分函数需要计算的积分为

.

　　式中：r为欧氏空间下的距离函数，r，z为常数;u0，v0为第j个面元重心在局部坐标系下的坐标值;z0为第j个面元重心与第i个面元连线在第i个面元法向量方向上的投影模值;S为第 个面元的平面区域S为积分所在的区域，记为积分函数f的度，α=β+n称为该奇异积分I的度.对于度为α的齐次函数积分I在积分区域S内的积分