ARMA模型频率估计方法在轴频提取中的应用

　　由于螺旋桨的调制作用,舰船、潜艇、鱼雷等使用螺旋桨作为推进装置的水中目标,在其辐射噪声中会出现呈谐波关系的线谱,这种谐波线谱在目标识别和参数估计方面有重要价值,因而谱估计技术在声纳信号处理中得到广泛应用[1]。经典的谱估计又叫非参数化谱估计,它以傅立叶变换为基础,采用经典谱估计方法来获得高谱分辨率就需要较长积分时间。相比之下,参数化谱估计具有更高的频率分辨率,因此参数化谱估计也被称为高分辨谱估计。自回归-滑动平均ARMA模型谱估计就是一种高分辨的现代谱估计技术[2]。运用ARMA模型可对舰船、潜艇、鱼雷的辐射噪声建模并进行谐波恢复,即确定谐波信号的频率和功率,谐波恢复的关键点在于谐波个数及频率的估计。谐波个数估计问题有很多专题研究的文献,其中,文献[3]提出了根据特征值作统计分析来判断信号个数的信息论准则(AIC)和最小描述长度准则(MDL);文献[4]提出了不需作特征值分解的快速子空间分解方法(FSD),它们的优点在于不需人为地设置主观判别门限,文中假设谐波个数为已知。

　　1　ARMA模型频率估计算法

　　平稳随机过程大都可用白噪声激励一个线性不变系统来产生,而线性系统又可用线性差分方程进行描述,这种差分模型就是自回归-滑动平均(ARMA)模型。任何一个有理式的功率谱密度可用一个ARMA随机过程的功率谱密度精确逼近[5,6]。这是用ARMA模型进行功率谱估计的基础,用ARMA模型进行谐波频率估计的算法简述如下。

　　首先考虑最简单的单个正弦波情况,令x(n)=sin(2πfn+θ),根据三角恒等变换式

　　可得二阶差分方程

　　解式(2)作Z变换以后的特征多项式,得到一对模为1的共轭复根z=e±j2Pf,由它们可确定正弦信号的频率,即

　　式(3)运算结果会出现正负2个频率,通常只取正频率。

　　当有p个不重复的实正弦波过程存在时,对应的差分方程变为

　　此时,ARMA模型简化为一个无激励的AR过程,只要将式(4)中的AR阶数和系数ai确定,就可以用解特征多项式的方法确定p个信号的频率。

　　在式(4)两边同乘以x(n-k)并取数学期望,可以得到

　　存在与信号统计独立的加性白噪声背景w(n)时,有

　　式中:为噪声方差,由于冲激函数的性质,有

　　对式(7)构造超定方程组,并用SVD-TLS方法求解,求解的步骤如下。

　　1)根据观测样本数据自相关函数Rdy(k)构造一个扩展阶自相关矩阵[6～7]

　　式中:pe>2p;M>>p。

　　2)计算Re的奇异值分解(SVD),得特征向量矩阵V。