用迭代法消除数字图像放大后的模糊

    1　引　言

　　数码相机的兴起正在给影像技术带来一次革命。微电子技术的发展使数码相机的分辨率由100×106pixcl、发展到300×106pixcl。但无论怎样发展,其分辨率终究会受到限制,人们总还会需要更大的照片。对于数字图像的放大可以将每一个像素直接放大,也可采用插值的方法进行放大。前者效果很差,影像边缘成锯齿状;后者可以消除影像边缘的锯齿,得到光滑的边缘,但图像会变模糊,视觉效果也不能令人满意。能不能消除数字图像放大造成的模糊,使放大的图像更清晰,是人们普遍关心的问题[1,2]。

　　从光学成像的角度看,模糊是由点扩散函数造成的。由点扩散函数与清晰的图像进行卷积,便得到模糊的图像[3]。我们把数字图像经过插值放大造成的模糊也看成是点扩散函数造成的。这时的点扩散函数是由插值算法产生的。只要知道点扩散函数,就可以用逆卷积的方法消除图像的模糊[4,5],得到清晰的图像。

    2　实验原理

　　在计算机中,每幅数字图像为M×N数组,M行N列的图像中每1个像素的值是图像点的亮度。我们用Cij表示模糊图像C的第i行第j列,用Xij表示清晰图像X的第i行第j列的像素值。用H表示点扩散函数。为了推导方便,先考虑3×3的情况,H表示式为

    离散形式的卷积可表示为

    实际是M×N阶线性方程组,求逆卷积就是解线性方程组。在数值计算方法中,这是典型的线性代数方程[6],它的典型解法是雅可比(Jacobi)迭代法。(2)式可以写成:

　　用迭代法解线性方程组需要设定初值。并且初值越接近真值,收敛速度就越快。在消模糊问题中,模糊图像本身就是已知的最接近真值的初始值。将模糊图像的像素值带入(3)式可得:

H22Xi,j=Cij-(H11Ci-1,j-1+H21Ci,j-1+H31Ci+1,j-1+H12Ci-1,j+H32Ci+1,j+H13Ci-1,j+1+H23Ci,j+1+H33Ci+1,j+1) (4)

    用模糊图像与点扩散函数卷积可得:

Cøij=H11Ci-1,j-1+H21Ci,j-1+H31Ci+1,j-1+H12Ci-1,j+H32Ci+1,j+H13Ci-1,j+1+H23Ci,j+1+H33Ci+1,j+1) (5)

　　将(5)代入(4)可得:

　　　　Xi,j=(Cij-Cøij)/H22+Ci,j(6)

    是1次迭代得到的逼近值。按照这一原理,以新的逼近值取代初值就得到2次逼近值,依此反复迭代。当2次迭代的结果之差小于某个阈值时,迭代过程停止,所得到就是对真实图像最后逼近的结果。

　　在(6)式中,可以令A=1/H22,得到:

　　　　Xi,j=A×(Cij-Cøij)+Ci,j(7)

    其中A称为迭代系数。调整A的大小可以改变逼近的速率。

    3　实验过程与结果

　　使模糊图像变得清昕的关键是找出成像系统的点扩散函数。在光学图像消模糊的过程中,最困难的问题就是找点扩散或光学传递函数。在数字图像的放大过程中,由于采用的插值算法是已知的,所以可以比较容易地得到插值放大的点扩散函数。图1是数值图像放大16倍的点扩散函数分布图。其中x-y平面代表着图像平面,z轴是像素值。