一种考虑剪切变形影响的矩形板弯曲单元

　　板系结构在土木、机械、航空、航天等领域中有着广泛的应用,谋求一种实用、可靠、有效的板的有限元法是广大工程技术人员和力学工作者都十分热衷的研究课题.

　　在有限元分析中采用的板理论大致可分为二大类,一种是不考虑剪切变形影响的Kirchhoff板理论,另一类是考虑剪切变形的Mindlin- Reissner板理论.前者在构造单元位移模式时遇到了单元边界不满足C1连续的困难,后者对于薄板单元往往出现“锁定”现象.为了克服这些难点,人们 基于Mindlin-Reissner板理论,提出了很多板弯曲单元,如Zienkiewicz[1],Hughes[2]的位移元,S.W.Lee和 J.H.H.Pion[3]的杂交混合元,这些单元在工程中得到了广泛的应用.另外,龙驭球教授[4]从广义协调元理论出发,提出了一种厚薄板通用的低阶 广义协调矩形元,具有简便、实用的优点.

　　本文直接根据板弯曲变形的特点,采用单位宽纵横向条条带来构造矩形板弯曲单元的位移模式,并假定剪切变形在单元内线性变化[5],由此推导了一 个20个自由度的矩形板弯曲单元的计算列式,此单元满足了C1连续条件,克服了“剪切自锁”,且自由度小,计算精度较高,单元刚度矩阵可直接得到显示,不 需采用数值积分.

　　1　基本理论

　　Mindlin-Reissner的基本假设为

　　1)变形前的中面法线在变形后仍保持为直线,但不一定与变形后的中面垂直.

　　2)中面法线方向的应力忽略不计.

　　设w为板单元的面外位移,θx,θy分别为绕x轴和y轴的转角,w,Hx,Hy的正方向如图1所示.γxz,γyz代表剪应变,于是有

　　记kx,ky为曲率,kxy为扭率,Mx,My为板单位宽度内的弯矩,Mxy为单位宽度内的扭矩,则有

　　对于均质,各向同性的板,广义应力和广义应变之间的关系为

　　而D为板的弯曲刚度,为弹性模量;t为板厚度;L为泊松比;G为剪切模量;k为考虑剪应力沿板厚度方向不均匀分布的修正系数,按能量相当k=5/6.

　　2　单元位移模式

　　在图2中,图2(b)为图2(a)中的单位宽横向条条带,条带的竖向位移用其左右两侧位移内插,而两侧位移又由各自相应边的结点位移内插.由于 考虑了剪切变形的影响,实际单位宽条带竖向位移不只是由弯曲引起的位移,还有由剪切引起的位移.本文根据文献[5],假定剪应变在单元内线性分布,于是条 带的竖向位移可表示为

　　同理纵向条带的竖向位移可表示为

　　剪应变也用纵横条条带法双向线性内插,即

　　单元的竖向位移模式采用单位宽纵横条带位移叠加而得,即