附加硬弹簧Duffing吸振器系统动力学特性研究

    0 引言

    动力吸振器广泛应用于船舶的振动机械，对于线性动力吸振系统，已经有了比较成熟的设计方法和适合于各类振动机械的产品，而非线性动力吸振器的研究目前还尚未成熟，但是相关文献[1～4]表明：非线性动力吸振器在瞬态冲击情况下具有泵能效应，可以将主系统的能量无“反馈”的全部输出给吸振器，而后由吸振器自带的阻尼将能量消耗；在稳态激励的情况下，非线性吸振器有更宽的吸振频带，可以实现更大范围的减振。更重要的是，由非线性吸振器和振动机械构成的系统属于高维非线性系统，该系统具有更为丰富的动力学特性。

    硬弹簧Duffing系统指的是线性刚度的基础上，附加一个三次方非线性刚度，且系数为正值。该系统只有1个平衡点，且该平衡点是稳定的。目前的研究更多的集中在具有2个或3个平衡点的非线性系统的混沌[5～8]。Holmes型Duffing系统具有3个平衡点[9]，E. H. Dowell和C. Pezeshki对该系统产生混沌的机理作了直观的解释[10]。硬弹簧Duffing系统在激励频率变化时响应幅值会出现突跳，响应具有多值性。因此，硬弹簧Duffing系统在单个激励频率下可能会出现周期、多周期直至混沌的运动特性。

    本文在研究单个硬弹簧Duffing非线性振子的动力学特性的基础上，将非线性振子附加至线性主系统上，研究整个系统的高维非线性动力学特性。利用谐波平衡法分析其稳态特性，以Lyapunov指数作为判定依据，利用数值模拟的方法得到其混沌、超混沌特性。

    1 Duffing系统力学和数学模型

    在线性系统上附加一个强非线性吸振器的模型如图1所示，主系统质量为1m ，隔振器弹性系数为k ，阻尼为1c，附加一硬弹簧Duffing动力吸振器，质量为2m，阻尼为2c，其弹性恢复力为32f ( z )? k z ??z， z ? y ?x是吸振器与主系统的相对位移，k2和 ?分别为线性和非线性弹性系数。

    为无量纲化，进行以下参数变换，令21 1/k m，1i i ni?是无量纲阻尼系数，2 1m /m为从系统、主系统的质量k /k是从系统、主系统的线性刚度比，1F /k ? A是力幅值作用下的主系统变形，令t为新的时间量纲，有：为频率比，为无量纲激励幅值。同时将两个位移变量x和y无量纲化：设 Z Y X，可以得到无量纲方程为：

    2 附加硬弹簧Duffing吸振器的主系统稳态动力学特性

    谐波平衡法是一种求解系统周期定常解的有效方法，将系统的周期解利用傅立叶级数展开，代入原动力学方程后，平衡各个谐波系数，将求解过程归结为代数方程的求解，而无需求解微分方程或微分—积分方程。