复合材料旋转壳自由振动分析的新方法

    引 言

    复合材料层合旋转壳振动特性分析一直是很多研究者关注和探讨的问题.除了特殊铺层的简支圆柱壳外，一般铺层和其他边界条件的层合旋转壳一般没有解析形式的振动解.在分析旋转壳自由振动时，通常采用半解析或者纯数值方法，如Ritz法[1-2]、无网格法[3]和有限元法[4]等. Ritz法适用于计算壳体的低阶振动频率，若求解壳体较高阶频率，须增加壳体的位移试函数数量，通常会导致系统矩阵病态；另外，Ritz法要求选择的试函数须满足壳体位移边界条件.由于壳体边界条件形式较多，选择合适的壳体容许位移函数是非常困难的.无网格法是一种新兴的数值方法，在分析旋转壳的振动时虽具有某些独特的优点，但在处理壳体边界条件时还存在一些有待完善的环节[3].有限元法虽然可处理一般铺层和一般边界条件的层合旋转壳振动问题，但缺点是对应的系统方程维数通常较高且计算量大.Leissa[5]和Qatu等[6]对各类旋转壳的自由振动分析方法进行了详尽的总结和比较.

    本文提出了一种区域分解法来分析任意边界条件的复合材料层合旋转壳自由振动.以不同边界条件的复合材料层合圆柱壳、圆锥壳及球壳为例，采用区域分解法分析了其自由振动；通过与其他文献结果进行对比，验证了本文方法的稳定性、收敛性和计算精度.

    1复合材料层合壳区域分解力学模型

    1.1复合材料层合壳的能量泛函

    在复合材料层合壳中面上建立曲线坐标ξ1ξ2ξ3(如图1)，其中 ξ1和 ξ2沿中面的曲率线方向，ξ3与 ξ1, ξ2垂直.壳体中面上一点沿着 ξ1, ξ2和 ξ3方向的位移分量分别为u(ξ1, ξ2), v(ξ1, ξ2)和w(ξ1, ξ2).

    沿旋转壳母线方向将壳体等距分为N0个旋转壳段，视壳体的已知位移边界为一种特殊的分区界面.根据区域分解思想，构造出旋转壳的能量泛函ΠTol为

    其中，Ti和Ui分别为第i个旋转壳段的动能和应变能, Πλκ为相邻旋转壳段i和i (或已知位移边界)之间的界面附加势能.

    根据薄壳理论，层合旋转壳段i的动能表达式为

    式中，u˙, v˙和w˙分别为壳体中面上一点沿着 ξ1, ξ2和 ξ3方向的速度分量；ρ¯ 为层合壳质量密度参数，为第k层复合材料壳体的密度, Nk为铺层数目；λ1和 λ2为壳体中面的Lame´参数；Si为层合壳段i的中面面积.根据Reissner薄壳理论[5]，旋转壳段i的应变能为

    式中，εT0和 χT0分别壳体中面薄膜应变和曲率变化向量[5]，εT0= [ε0ξ1, ε0ξ2, ε0ξ1ξ2]和 χT0= [χ0ξ1, χ0ξ2, χ0ξ1ξ2]；¯N和 ¯M分别为层合旋转壳段内力和内力矩向量，¯NT= [Nξ1, Nξ2, Nξ1ξ2]，¯MT= [Mξ1, Mξ2, Mξ1ξ2].